《高等代數》考試大綱

科目名稱：高等代數                               

科目代碼：834

一、 考試目的

本考試大綱適用于報考河南工業大學理學院數學專業的碩士研究生《高等代數》科目的入學考試。它的主要目的是測試考生是否系統地學習和掌握了高等代數的知識，代數的思維方式，以及現代數學的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思維能力、較強的邏輯推理能力和運算能力。

二、考試的性質與范圍

　　本考試是一種測試應試者綜合運用所學的《高等代數》的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數問題的能力。

三、考試基本要求

　　1. 熟練掌握高等代數的基本概念、命題、定理；

　　2. 綜合運用所學的高等代數的知識的能力

四、考試形式

　　閉卷

五、考試題型

　　計算題、證明題

六、考試內容（或知識點）

　　1.多項式

　　數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。

　　2、行列式

　　排列，n級行列式的定義和性質，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k級子式。

　　3. 線性方程組

　　消元法，n維向量空間，線性相關性，向量組和矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。

　　4. 矩陣

　　矩陣的概念，矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價，分塊矩陣乘法的初等變換，對稱矩陣和反對稱矩陣，正交矩陣，施密特正交化過程。

　　5. 二次型

　　線性替換，n元二次型，二次型的矩陣，標準型，規范形，慣性定理，正定（半正定）二次型。

　  6. 線性空間

　　集合、映射，線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

　 7. 線性變換

　　線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對角矩陣的條件，線性變換的值域與核，不變子空間。

　  8. λ-矩陣

　　λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標準型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若當（Jordan）標準形，最小多項式。

　  9. 歐幾里得空間

　　定義與基本性質，標準正交基，同構，子空間，正交變換的定義和性質，對稱變換的定義和性質。

七、參考書目

(1) 高等代數. 北京大學數學系. 高等教育出版社，出版年2003.

八、樣卷(附后)

河南工業大學

2015年碩士研究生入學考試試題

考試科目： 837高等代數(A)                     共   2   頁（第  1  頁）      

注意：1、本試題紙上不答題，所有答案均寫在答題紙上

      2、本試題紙必須連同答題紙一起上交。

一、（15分）計算行列式 。

二、（15分）設 是 矩陣， 是齊次線性方程組 的基礎解系， 是齊次線性方程組 的一個解，證明：

  (1) 線性無關；

  (2)  的任意一個解可以由 線性表示。

三、（15分）已知 為3階矩陣，且滿足 ,其中 為3階單位矩陣。

 證明 可逆； 若 ，求矩陣 。

四、（15分）已知 為4階矩陣，若滿足 ，且行列式 。

 求矩陣 的特征值； 證明矩陣 可相似對角化； 計算行列式 。

五、（15分）設有三元二次型 ，其矩陣 主對角線元素之和為 ，且滿足 ，其中 。

（1）用正交變換化二次型為標準形,并寫出所用正交變換；

（2）求此二次型； （3）求 。

六、（15分）設 與 分別是齊次線性方程組 與 的解空間,http://www.xuecan.net/其中 是 中的一組給定的滿足       的數,證明： 。

七、（15分）若 是 階矩陣,當有一個常數項不為零的多項式 ,使 ,則 的特征值一定全不為 。

八、（15分）設 ，求 。

九、（15分）設 是 維線性空間， 是 的子空間，如果 .

證明：存在線性變換  ，使 。

十、（15分）證明：如果 則 。