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烏魯木齊二模理科
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烏魯木齊地區2015年高三年級第二次診斷性測驗
一、選擇題:共12小題，每小題5分，共60分.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
選項 C D C B D A A C C C A B
1.選C.【解析】∵ ， ，∴ ，
故選C.
2.選D.【解析】∵ ，其共軛復數是 故選D.
3.選C.【解析】依題意， ，則
故選C.
4.選B. 【解析】①錯，②對，③對，④錯. 故選B.
5.選D.【解析】 ，曲線在 處切線的斜率 ，∵此切線與直線 垂直，∴直線 的斜率 ，即 . 故選D.
6.選A.【解析】由題意得 ，即 解得：
，∵ 是區間 上的減函數,
∴ ，∴ ，故選A.
7.選A.【解析】如圖該幾何體為一三棱錐，設外接球半徑為
由題意得 ，解得 ∴ ，故選A.
8.選C.【解析】執行第一次運算 ，
執行第二次運算 ，執行第三次運算 ，執行第四次運算 輸出 .故選C.
9.選C.【解析】將四個不同小球放入四個不同盒子，每個盒子放一個小球，共有 種不同放法，放對的個數 可取的值有0，1,2,4. 其中 ， , , ，
.故選C.
10.選C.【解析】∵ 為奇函數，則函數 的圖像關于點 對稱，則函數 的圖象關于點 對稱，故函數 滿足 .
設 ，倒序后得 ，兩式相加后得 ，
∴ .故選C.
11.選A.【解析】 ，漸近線方程為 直線 的方程為： ，設 ， 依題意知， 分別滿足 ， ，得 ∵ ，∴ ,
∴ ，化簡得 .故選A.
12.選B.【解析】∵ ，∴ ,即
,整理的 ,則 ,∵ ,∴ ,∴ 為銳角，故 為銳角，則 ，
,當且僅當 時等號成立，
∴ 的最大值為 .故選B.
二、填空題
13.填 .【解析】由題意得： ，∴ .
14.填 .【解析】∵ ,∴ ,∵ ,
∴ ,∴ ,
∴
15.填 .【解析】
若 ，由 得 ，得 ，與 矛盾；
若 ，由 得 ，得 ，與 矛盾；
若 ，由 得 ，得 ，
而 ，∴ ，∴
16.填 .【解析】依題意知，直線 的斜率 存在，且 ，
設其方程為 代入 有
設 則 ，又 ， ，∴ ,而 異號，∴ ，∵ ,又∵ ，
故 ，即 ,將 ， 代入，有 ,∴ ，又 ,
∴
三、解答題
17．（12分）
（Ⅰ）當 時， ，得 ，由 得 ，兩式相減，得 ，即 ，∴ ，而 ，∴數列 是首項為 ，公比為 的等比數列； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，即 ，
∴
令
則
兩式相減得
∴ ，∴ …12分
18. (12分)
（Ⅰ）連結 ，∵四邊形 是菱形，∴
又∵ ，∴ 是等邊三角形，
∵ 是 中點, ∴ ，
∵ 平面 , 平面 ,
∴ ，在平面 中
∴ 平面
∴平面 平面 ； …6分
（Ⅱ）設 交于點 ，過 作 ,
以點 為坐標原點，分別以 所在直線為 軸， 軸， 軸，如圖所示，建立空間直角坐標系：∵四邊形 是邊長為 的菱形， 得 , , ，
于是
∵ 是 的中點, ∴ ，∵ 平面 ,
∴平面 的一個法向量為 設平面 的法向量
∵ ,由 得 ，
令 ，得 ， ,∴ ,∴
∴二面角 的平面角的余弦值為 ． …12分
19．（12分）
（Ⅰ）上半年的數據為：
其“中位數”為 ，優質品有6個，合格品有10個，次品有9個.下半年的數據為： 其“中位數”為 ，優質品有9個，合格品有11個，次品有5個.則該企業生產一件產品的利潤的分布列為： …5分
（Ⅱ）由題意得：
上半年 下半年
優質品
非優質品
由于 ，所以沒有 的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”. …12分
20.（12分）
（Ⅰ）已知橢圓 的右焦點為 ，∴
又直線 與橢圓有且僅有一個交點，∴方程組 有且僅有一個解，
即方程 有且僅有一個解
∴ ，即 ，又∵ ，
∴ ，∴橢圓 的標準方程是 ； …5分
（Ⅱ）依題意知橢圓的右焦點 的坐標為 ，直線 的方程為 （其中 為直線 在 軸上的截距）設
解方程組 ，得關于 的一元二次方程
即
，即
∵ 是方程的兩個解，∴ ， ，
∵ ，
∴
，∵ ，∴
即 ，∴
即 ，又 ，∴ ，即 ，∴ ，而 ，∴ ，解得 或 ，
∴ 或 …12分
21．（12分）
（Ⅰ）∵ ,∵ ∴ ，∴ ，
∴ ,∴函數 在區間 上單調遞增. …4分
（Ⅱ）⑴當 時， ，
由 知 ， ，則 ， ，
∴
∴當 時，函數 在 上無零點；
⑵當 時， ，
令 ，得 ，由 ，知 ,∴ ，
∴ ，∴當 時， ,∴ ,
當 時， ，∴
∴函數 在區間 上為增函數，在區間 上為減函數.
∴
由 ， ； ， 成立，
∴ ， ， ，
取
當 時， ，∴當 時
∴ ，即
又
由函數零點定理和函數 在區間 為增函數,且
∴ 使得 ，取 ，
由 ，知 ，∴當 時，都有 ，
∴ ， ，∵ ，
∴
從而 ，∴ ，∴ 使得
∴當 時，函數 在 上有兩個零點；
⑶當 時
由⑵知函數 在區間 上為增函數，在區間 為減函數.
∴ ，∴對 ，
且當 時， ，當 時，
從而當 時，函數 有且僅有一個零點；
⑷當 時， ，
由⑵知函數 在區間 為增函數，在區間 為減函數，
，∴對 ， 。
此時 在 上無零點.
綜上所述：⑴當 時，函數 在 上無零點；
⑵當 時，函數 在 上有兩個零點；
⑶當 時，函數 在 上有一個零點；
⑷當 時，函數 在 上無零點. …12分
22．（10分）
（Ⅰ）連結 ，∵ 是圓的切線, 是弦∴
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，
∴ ； …5分
（Ⅱ）設 與半圓交于點 ,連結 ，∵ 是圓的切線,∴ ，
又∵ , ，∴ ∽ ，∴ ,
∴ ,∴
. …10分
23．(10分)
（Ⅰ）圓 的參數方程為 （ 為參數）；
直線 的參數方程為 （ 為參數）； …5分
（Ⅱ）圓 的極坐標方程為 ，直線 的極坐標方程為 ，設 點的極坐標為 ， 點的極坐標為 依題意有： ， ，
∴ 為定值． …10分
24．(10分)
（Ⅰ） ，其圖像如圖所示.
令 解得 ，∴ 的解集為 …5分
（Ⅱ）如圖，當 時， ，要使 ，需且只需 ，
而 =3時，有 ，或 ，即 ，或 ，得 .
…10分
以上各題的其他解法，限于篇幅從略，請相應評分．
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