（完卷時間120分鐘，滿分150分）
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，只要求將最終結果直接填寫答題紙上相應的橫線上，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
已知，，則 ．
已知集合，，若，則實數的取值范圍
是 ．
設等差數列的前項和為，若，，
則等于 ．
若是純虛數（是虛數單位），則實數的值為 ．
拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是 ．
執行右圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為 ．
不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是 ．
若是展開式中項的系數，
則 ．
已知一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為 ．
若點在曲線（為參數，）上，則的取值范圍是 ．
從這個整數中任意取個不同的數作為二次函數的系數，則使得的概率為 ．
已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上任意一點，點的坐標為，則取最大值時，點的坐標為 ．
13、已知、、為直線上不同的三點，點直線，實數滿足關系式
，有下列命題：
①； ② ；
③ 的值有且只有一個； ④ 的值有兩個；
⑤ 點是線段的中點．
則正確的命題是 ．（寫出所有正確命題的編號）
14、已知數列的通項公式為，數列的通項公式為，
設若在數列中，對任意恒成立，則實數的取值范圍是 ．
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二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應的正確代號用2B鉛筆涂黑，選對得5分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分．
15、若，則“成立”是“成立”的 （ ）
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充要條件 （D）既非充分又非必要條件
16、下列函數中，既是偶函數，又在區間內是增函數的為 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
17、已知和是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出的是 （ ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
18、對于函數，若存在區間，使得，
則稱函數為“可等域函數”，區間為函數的一個“可等域區間”．
給出下列4個函數：
①；②；
③； ④．
其中存在唯一“可等域區間”的“可等域函數”為 （ ）
（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④
三、解答題（本大題共5題，滿分74分）每題均需寫出詳細的解答過程．
19、（本題滿分12分）本題共有2小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分．
在△中，角、、所對的邊長分別為、、，
且．
（1）若，，求的值；
（2）若，求的取值范圍．
20、（本題滿分14分）本題共有2小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分．
如圖，幾何體中，為邊長為的正方形，為直角梯形，，，，，．
（1）求異面直線和所成角的大小；
（2）求幾何體的體積．
21、（本題滿分14分） 本題共有2小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分．
為了保護環境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產品，經測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數關系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？
22、（本題滿分16分）本題共有3小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分．
已知數列中，，對任意的，、、成等比數列，公比為；、、成等差數列，公差為，且．
（1）寫出數列的前四項；
（2）設，求數列的通項公式；
（3）求數列的前項和．
23、（本題滿分18分）本題共有3小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分．
如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為. 點為圓上任一點，且滿足，動點的軌跡記為曲線．
（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標．
2014年上海市高三年級 六校聯考
一、填空題
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13．①③⑤ 14．
二、選擇題
15. C 16. A 17. C 18. B
三、解答題
19. 解：（1）在△中，．
所以．
，所以． ………………3分
由余弦定理，
得．
解得或． ………………6分
（2）
. ………………9分
由（1）得，所以，，
則.
∴.
∴.
∴的取值范圍是. ………………12分
20. 解：（1）解法一：在的延長線上延長至點使得,連接.
由題意得，，，平面，
∴平面，∴，同理可證面.
∵ ，，
∴為平行四邊形，
∴.
則（或其補角）為異面直線和
所成的角. ………………3分
由平面幾何知識及勾股定理可以得
在中，由余弦定理得
．
∵ 異面直線的夾角范圍為，
∴ 異面直線和所成的角為． ………………7分
解法二：同解法一得所在直線相互垂直，故以為原點，所在直線
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， ………………2分
可得，
∴ ，
得. ………………4分
設向量夾角為，則
．
∵ 異面直線的夾角范圍為，
∴ 異面直線和所成的角為． ………………7分
（２）如圖，連結，過作的垂線，垂足為，則平面，且.
………………9分
∵ ……………11分
.
∴ 幾何體的體積為.……14分
21. 解：（1）根據題意得，利潤和處理量之間的關系：
………………2分
，.
∵，在上為增函數，
可求得. ………………5分
∴ 國家只需要補貼萬元，該工廠就不會虧損． ………………7分
（2）設平均處理成本為
………………9分
， ………………11分
當且僅當時等號成立，由 得．
因此，當處理量為噸時，每噸的處理成本最少為萬元． ………………14分
22. 解：（1）由題意得
，，或. ………………2分
故數列的前四項為或. ………………4分
（2）∵成公比為的等比數列，
成公比為的等比數列
∴，
又∵成等差數列，
∴.
得，， ………………6分
，
∴，，即.
∴ 數列數列為公差等差數列，且或. ……8分
∴或. ………………10分
（3）當時，由（2）得.
，，
，
. ………………13分
當時，同理可得，. ………………16分
解法二：（2）對這個數列，猜想， 下面用
數學歸納法證明：
ⅰ）當時，，結論成立.
ⅱ）假設時，結論成立，即.
則時，
由歸納假設，. 由成等差數列可知，于是，
∴ 時結論也成立.
此時.
∴或. ………………10分
（3）對這個數列，猜想奇數項通項公式為.
顯然結論對成立. 設結論對成立，考慮的情形.
由（2），且成等比數列，
故，即結論對也成立.
從而由
數學歸納法原理知.于是（易見從第三項起每項均為正數）以及，此時. ………………13分
此時. ………………16分
23. 解：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為. ………………2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫范圍不扣分）…4分
（2）由得，，
所以，同理. ………………6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ . ………………8分
當且僅當時等號成立，此時.
∴ 當時，四邊形的面積最大值為. ………………10分
（3）曲線的方程為（），它關于直線、和原點對稱，下面證明：
設曲線上任一點的坐標為，則，點關于直線的對稱點為，顯然，所以點在曲線上，故曲線關于直線對稱，
同理曲線關于直線和原點對稱.
可以求得和直線的交點坐標為
和直線的交點坐標為，
，，，.
在上取點 .
下面證明曲線為橢圓：
ⅰ）設為曲線上任一點，則
（因為）
.
即曲線上任一點到兩定點的距離之和為定值.
ⅱ）若點到兩定點的距離之和為定值，可以求得點的軌跡方程為（過程略）.
故曲線是橢圓，其焦點坐標為. ………………18分
第（3）問說明：
1. ⅰ）、ⅱ）兩種情形只需證明一種即可，得5分，
2. 直接寫出焦點的坐標給3分，未寫出理由不扣分.
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