福建師大附中2013年5月高考三模理科
數學考試試題及其免費答案下載
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福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
注意事項：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、準考證號、姓名；
2．本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式：
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應位置．）
1．復數 （是虛數單位）在復平面內對應的點是位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．設 ，則“ ”是“直線 與直線 平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知集合 ， ,且 ,則 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4．設z=x+y，其中x，y滿足 當Z的最大值為6時， 的值為（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5．閱讀如下圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入 ，則輸出 的值為（ ）
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
6． 的三個內角 對應的邊分別 ，且 成等差數列，則角 等于（ ）
A . B.
C. D.
7．設 ，則二項式 展開式中的 項的系數為（ ）
A . B. 20
C. D. 160
8.如下圖所示，在棱長為2的正方體 內（含正方體表面）任取一點 ，則 的概率 （ ）
A. B. C. D.
9．已知平面上的線段及點 ，在上任取一點 ，線段 長度的最小值稱為點 到線段的距離，記作 ．設是長為2的線段，點集 所表示圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
10．如下圖所示，有三根針和套在一根針上的 個金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。
（1） 每次只能移動一個金屬片；
（2） 在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。
若將 個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為 ，則 =（ ）
A. 33 B. 31 C.17 D. 15
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．
11．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其它10個長方形的面積和的 ，且樣本容量為160，則中間一組的頻數為
12.在平面直角坐標系 中，若雙曲線 的焦距為8，則
13.如圖，矩形 的一邊 在 軸上，另外兩個頂點 在函數 的圖象上.若點 的坐標為 且 ，記矩形
的周長為 ，則
14．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為
15.我國齊梁時代的
數學家祖暅（公元5-6世紀）提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．
設：由曲線 和直線 ， 所圍成的平面圖形，繞 軸旋轉一周所得到的旋轉體為 ；由同時滿足 ， ， ， 的點 構成的平面圖形,繞 軸旋轉一周所得到的旋轉體為 .根據祖暅原理等知識，通過考察 可以得到 的體積為
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫在答題卡相位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分13分)
已知 為坐標原點，對于函數 ，稱向量 為函數 的伴隨向量，同時稱函數 為向量 的伴隨函數．
（Ⅰ）設函數 ，試求 的伴隨向量 的模；
（Ⅱ）記 的伴隨函數為 ，求使得關于 的方程 在 內恒有兩個不相等實數解的實數的取值范圍．
17．（本小題滿分13分）
某超市在節日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規則如下：
獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵．
（Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；
（Ⅱ）記 為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量 的分布列和
數學期望．
18．（本小題滿分13分）
如圖， 是半圓 的直徑， 是半圓 上除 、 外的一個動點， 垂直于半圓 所在的平面， ∥ ， ， ， ．
⑴證明：平面 平面 ；
⑵當三棱錐 體積最大時，求二面
角 的余弦值．
19．（本小題滿分13分）
已知圓 ，橢圓 ．
（Ⅰ）若點 在圓 上，線段 的垂直平分線經過橢圓的右焦點，求點 的橫坐標；
（Ⅱ）現有如下真命題：
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．
據此,寫出一般結論，并加以證明．
20．（本小題滿分14分）已知函數 ， （ ）
（1）若函數 存在極值點，求實數b的取值范圍；
（2）求函數 的單調區間；
（3）當 且 時，令 ， ( )， ( )為曲線y= 上的兩動點，O為坐標原點，能否使得 是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。
21．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）(本小題滿分7分)選修4－2：矩陣與變換
已知矩陣A= 有一個屬于特征值1的特征向量 .
(Ⅰ) 求矩陣A；
(Ⅱ) 若矩陣B= ，求直線 先在矩陣A，再在矩陣B的對應變換作用下的像的方程.
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程．
已知曲線 的極坐標方程是 ，直線的參數方程是 （為參數）．
（Ⅰ）將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與 軸的交點是 , 是曲線 上一動點,求 的最大值.
(3)（本小題滿分7分）選修 ：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：
（II）已知 ，且 ，求 的最小值．
福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14． 15.
16．解：（Ⅰ）∵ ， ……… 2分
∴ ． ………………………… 4分
故 . ……………………… 5分
（Ⅱ）由已知可得 ，………………7分
∵ ， ∴ ，
故 . ……………………… 9分
∵當 時，函數 單調遞增，且 ；
當 時，函數 單調遞減，且 .
∴使得關于 的方程 在 內恒有兩個不相等實數解的實數的取值范圍為 ． … 13分
17．（Ⅰ）解：設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件 ，
則 ，
故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為 ． ………………4分
（Ⅱ）解：隨機變量 的所有取值為 ． ………………5分
， ，
， ，
． ………………10分
所以，隨機變量 的分布列為:
………11分
． ………………13分
18．（Ⅰ）證明：因為 是直徑，所以 ………………1分，
因為 平面 ，所以 ………………2分，
因為 ，所以 平面 ………………3分
因為 ， ，所以 是平行四邊形， ，所以 平面 ………………4分，
因為 平面 ，所以平面 平面 ………………5分
（Ⅱ）依題意， ………………6分，
由（Ⅰ）知
，當且僅當 時等號成立 ………………8分
如圖所示，建立空間直角坐標系，則 ， ， ，則 ， ， ， ……………………9分
設面 的法向量為 ， ，即 ， ……………………10分
設面 的法向量為 ， ，即 ， ……………12分
可以判斷 與二面角 的平面角互補 二面角 的余弦值為 。 ……………………13分
19. 解法一：
（Ⅰ）設點 ，則 ， （1） ……………………1分
設線段 的垂直平分線與 相交于點 ，則 ，……2分
橢圓 的右焦點 ， ………………3分
, ， ，
， （2）…………………………4分
由（1），（2），解得 ， 點 的橫坐標為 ． ……………5分
（Ⅱ）一般結論為：
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．” ……………………………6分
證明如下：
（ⅰ）當過點 與橢圓 相切的一條切線的斜率
不存在時，此時切線方程為 ，
點 在圓 上 ， ，
直線 恰好為過點 與橢圓 相切的另一條切線
兩切線互相垂直．………………………………7分
（ⅱ）當過點 與橢圓 相切的切線的斜率存在時，
可設切線方程為 ，
由 得 ，
整理得 ，……………8分
直線與橢圓相切，
，
整理得 ，………………………9分
， ………………………10分
點 在圓 上， ， ， ， 兩切線互相垂直，
綜上所述，命題成立．…………………………………………………13分
解法二：
（Ⅰ）設點 ，則 ， （1）……………………………1分
橢圓 的右焦點 ，………………………………2分
點 在線段 的垂直平分線上， ，
， ， （2）……4分
由（1），（2），解得 ， 點 的橫坐標為 ．……………5分
（Ⅱ）同解法一．
20. 解：（Ⅰ） ，若 存在極值點，則 有兩個不相等實數根。所以 ， ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
當 時， ，函數 的單調遞增區間為 ；……………5分
當 時， ，函數 的單調遞減區間為 ，單調遞增區間為 。
……………7分
（Ⅲ） 當 且 時， 假設使得 是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。則 且 。……………8分
不妨設 。故 ，則 。 ， 該方程有解
………………………………………………9分
當 時，則 ，代入方程 得 即 ，而此方程無實數解； …………………………10分
當 時， 則 ； …………11分
當 時，則 ，代入方程 得 即 ， …………………………………12分
設 ，則 在 上恒成立。 在 上單調遞增，從而 ，則值域為 。
當 時，方程 有解，即方程 有解。…………13分
綜上所述，對任意給定的正實數 ，曲線上總存在 兩點，使得 是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。………………………………14分
21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得 ，所以 …………2分
解得 故A= . ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA= = ，因為矩陣BA 所對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線 上的兩點（0，1），（-1，2）， …………………………………………4分
， ，由得：（0，1），（-1，2）在矩陣A所對應的線性變換下的像是點（1，-3），（-1，-1） ……………………………6分
從而直線 在矩陣BA所對應的線性變換下的像的方程為 .…………7分
（2）解：（Ⅰ）曲線 的極坐標方程可化為 ，
又 ,
所以曲線 的直角坐標方程為 …………………3分
（Ⅱ）將直線l的參數方程化為直角坐標方程,得 ,…………4分
令 ,得 ,即 點的坐標為(2,0). 又曲線 為圓，圓 的圓心坐標為(0,1)，
半徑 ，則 ,……………………………………………………6分
所以 .即 的最大值為 ……………………7分
（3）（Ⅰ）證明：左邊= ,
右邊= ,
左邊 右邊 , ………………2分
左邊 右邊 , 命題得證 . ………………………3分
（Ⅱ）令 ，則 ,
, ,
, ………………………4分
由柯西不等式得： , ………………………5分
當且僅當 ，即 ，或 時………6分
的最小值是1 . ……………………7分
解法2： , ,
, ………………4分
， ………………………5分
當且僅當 ，或 時 …………………6分
的最小值是1. ………………7分
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