珠海市2013年9月高三摸底考試文科
數學試題及其答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1.已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函數中，既是偶函數又在區間 上單調遞增的函數為（ ）
A． B． C． D．
3．設 為虛數單位，則復數 等于（ ）
A． B． C． D．
4． 的值為（ ）
A． B． C． D．
5．中心在原點的雙曲線，一個焦點為 ，一個焦點到最近頂點的距離是 ，則雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的
正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為（ ）
A． B． C． D．
7．經過圓 的圓心且與直線 平行的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知實數 滿足 ，則目標函數 的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9.如右上圖，在 中，點 是 邊上靠近 的三等分點，則 （ ）
A． B． C． D．
10．用 表示非空集合 中元素的個數，定義 若 ， ，且 ，設實數 的所有可能取值構成集合 ，則 （ ） A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，考生作答4小題，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置.
11.設等比數列 的公比 ，則 ．
12.直線 是函數 的切線，則實數 ．
13.在 中， ， ，且 的面積為 ，則邊 的長為_________.
14．（幾何證明選講選做題）如右圖，圓 的割線 交圓
于 、 兩點，割線 經過圓心。已知 ，
， 。則圓 的半徑 ．
15．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系 中，直線 （ ）被圓 截得的弦的長是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本題滿分12分）已知函數 ， ．
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
17. （本題滿分12分）為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數據見下表（單位：人）：
高校 相關人數 抽取人數
A 18
B 36 2
C 54
（1）求 , ；
(2)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發言，
求這2人都來自高校C的概率.
18．（本題滿分14分）在邊長為 的正方形 中， 分別為 的中點， 分別為 的中點，現沿 折疊，使 三點重合，重合后的點記為B，構成一個三棱錐．
（1）請判斷 與平面 的位置關系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求四棱錐 的體積．
19．（本題滿分14分）數列 的各項均為正數， 為其前 項和，對于任意的 ，總有 成等差數列．
(1)求 ；
(2)求數列 的通項公式；
(3)設數列 的前 項和為 ，且 ，求證:對任意正整數 ，總有 ．
20．（本題滿分14分）已知點 、 ，若動點 滿足 ．
（1）求動點 的軌跡曲線 的方程；
（2）在曲線 上求一點 ，使點 到直線： 的距離最小．
21．（本題滿分14分）已知函數 滿足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在實數 ，使函數 在區間 上有最小值 ？若存在，請求出實數 的值；若不存在，請說明理由.
珠海市2013年9月高三摸底考試
試題與參考答案及評分標準
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1.（集合）已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.（函數的奇偶性與單調性）下列函數中，既是偶函數又在區間 上單調遞增的函數為（ ）
A． B． C． D．
3．（復數的除法）設 為虛數單位，則復數 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（三角函數） 的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（圓錐曲線）中心在原點的雙曲線，一個焦點為 ，一個焦點到最近頂點的距離是 ，則雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（三視圖）如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的
正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（直線與圓）經過圓 的圓心且與直線 平行的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（線性規劃）已知實數 滿足 ，則目標函數 的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9.（向量）如右上圖，在 中，點 是 邊上靠近 的三等分點，則 （ ）
A． B． C． D．
10．（信息題）用 表示非空集合 中元素的個數，定義
若 ， ，且 ，設實數 的所有可能取值構成集合 ，則 （ ） A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置.
11.（等比數列）設等比數列 的公比 ，則 ．
12.（導數）直線 是函數 的切線，則實數 ．
13.（解三角形）在 中， ， ，且 的面積為 ，則邊 的長為___ ______.
14．（幾何證明選講選做題）如右圖，圓 的割線 交圓
于 、 兩點，割線 經過圓心。已知 ，
， 。則圓 的半徑 ．
15．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系 中，直線 （ ）被圓 截得的弦的長是 ．
三、解答題：本大題共6小題，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（三角函數）已知函數 ，
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
解: (1)
…………………………………………………………………………2分
(2)
因為 ，且 ，所以 ……………………………………11分
所以 ……………………12分
高校 相關人數 抽取人數
A 18
B 36 2
C 54
17.（概率）為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數據見下表（單位：人）
（1）求 , ；
(2)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發言，
求這2人都來自高校C的概率.
解: (1)由題意可得: ,即 ……………………………………………………………2分
,即 …………………………………………………………4分
(2)設事件 ：2人都來自高校C……………………………………………………………5分
記高校 的兩人為 ，高校 的兩人為
則選取2人的所包含的基本事件共有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共有10種情況…………………9分
選取2人都來自高校C的所包含的基本事件有： ， ， 共3種情況……11分
所以 …………………………………………………………………12分
18．（立幾）在邊長為 的正方形 中， 分別為 的中點， 分別為 的中點，現沿 折疊，使 三點重合，重合后的點記為 ，構成一個三棱錐．
（1）請判斷 與平面 的位置關系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求四棱錐 的體積．
解：（1） 平行平面 ……………………………………………………………………2分
證明：由題意可知點 在折疊前后都分別是 的中點（折疊后 兩點重合）
所以 平行 …………………………………………………………………………………3分
因為 ，所以 平行平面 ………………………………………………5分
（2）證明：由題意可知 的關系在折疊前后都沒有改變
因為在折疊前 ，由于折疊后 ，點 ，所以 …6分
因為 ，所以 平面 …………………………………10分
（3） …………………………………………………………11分
……………………………………………………………12分
………………………………………………13分
……………………………………………………………………………14分
19．（數列）數列 的各項均為正數， 為其前 項和，對于任意的 ，總有 成等差數列
(1)求 ；
(2)求數列 的通項公式；
(3)設數列 的前 項和為 ，且 ，求證:對任意正整數 ，總有
解：（1）由已知：對于任意的 ，總有 成等差數列
……………………………………………………………………………2分
令 ， 即
又因為數列 的各項均為正數，所以 …………………………………………………4分
（2） ①
②……………………………………………………………………5分
由①-②得：
即 即
均為正數 ………………………………………7分
∴數列 是公差為1的等差數列
…………………………………………9分
（3） ………………………………10分
當 時， ……………………………………………………11分
當 時，
…………………………13分
所以對任意正整數 ，總有 ………………………………………………………………14分
20.（解幾綜合）已知點 、 ，若動點 滿足 ．
（1）求動點 的軌跡曲線 的方程；
（2）在曲線 上求一點 ，使點 到直線： 的距離最小．
解：（1）設點 坐標為 ，則 ， ， ， .
因為 ，所以 ，化簡得 .
所以動點 的軌跡為 ……………………………………………………………………6分
(2) 點 在 上，設點 坐標為 ， .…………………8分
記 到直線 的距離為
，……………………12分
當 時 有最小值 ，……………………………………………………………13分
此時點 坐標為 .………………………………………………………………14分
21．（導數綜合）已知函數 滿足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在實數 ，使函數 在區間 上有最小值 ？若存在，請求出實數 的值；若不存在，請說明理由.
解：（1） ；
……………………………………………1分
恒成立；
即 恒成立；
顯然 時，上式不能恒成立；……………………………………………………2分
∴ ，由于對一切 則有：
，即 ，解得： ；…………………………………………3分
∴ ， ………………………………………………………………………………………4分
（2）
由 得： ；…………………………………5分
即 ，即 ；
∴當 ，…………………………………………………………………………6分
………………………………………………………7分
當 ……………………………………………………………8分
（3）假設存在實數 使函數 在區間 上有最小值－5.
圖象開口向上且對稱軸為
①當 ，此時函數 在區間 上是遞增的；
解得 與 矛盾 ；………………………………………………10分 ②
當 ，此時函數 在區間 上是遞減的，而在區間
上是遞增的，
即
解得 ；
……………………………………………12分
③當 ，此時函數 在區間 上遞減的；
即
解得 ,滿足
綜上知：當 時， 在 上有最小值－5………………………………14分
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