絕密★啟用前 試卷類型：A
201３年重慶一中高2013級高三下期第三次月考
數 學 試 題 卷（理科） 2013.5
數學試題共4頁。滿分150分。考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定的位置上。
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設全集 集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.向量 ，且 ∥ ，則銳角 的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
3. 的展開式中，常數項等于（ ）
A. 15 B. 10 C. D.
4.在等差數列 中每一項均不為0，若 ，則 （ ）
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
5.采用系統抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，…，1000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8．抽到的50人中，編號落入區間[1，400]的人做問卷A，編號落入區間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷C的人數為（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6.在 中，已知 ，那么 一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7.若定義在R上的函數 的導函數是 ，則函數 的單調遞減區間是（ ）
A. B. C. D.
8 右圖給出了一個程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應的y值。若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有 ( )
A. 1個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4個
9 已知正數 滿足 則 的最小值為（ ）
A. B. 4 C. D.
10過雙曲線 的左焦點
，作傾斜角為 的直線FE交該雙曲
線右支于點P，若 ，且
則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共 分)
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分. 把答案填寫在答題卡相應位置上.
11.在復平面內，復數 對應的點位于虛軸上，則
12.某四面體的三視圖如下圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是_______.
13.用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1，2，3， ，9的9個小正方形，使得任意相鄰（由公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“3，5，7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的涂法共有 種。
考生注意：14，15，16三題為選作題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分
14． 是圓O的直徑， 為圓O上一點，過 作圓O的切線交 延長線于點 ，若DC=2，BC=1，則 .
15.在極坐標系中，已知兩點A、B的極坐標分別為 、 ，則 （其中O為極點）的面積為
16 .若不等式 的解集為空集，則實數 的取值范圍為
三.解答題.（本大題6個小題，共75分.各題解答必須答在答題卷上相應題目指定位置）
17．（本小題滿分13分）
已知向量 ， ，函數
圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且經過點 。
（1）求函數 的解析式
（2）當 時，求函數 的單調區間。
18 （本小題滿分13分）
設甲、乙、丙三人進行圍棋比賽，每局兩人參加，沒有平局。在一局比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為 。比賽順序為：首先由甲和乙進行第一局的比賽，再由獲勝者與未參加比賽的選手進行第二局的比賽，依此類推，在比賽中，有選手獲勝滿兩局就取得比賽的勝利，比賽結束。
（1）求只進行了三局比賽，比賽就結束的概率；
（2）記從比賽開始到比賽結束所需比賽的局數為 ，求 的概率分布列和
數學期望 。
19 （本小題滿分13分）
已知函數 ，其中 為自然對數的底數.
（Ⅰ）當 時，求曲線 在 處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若函數 存在一個極大值和一個極小值，且極大值與極小值的積為 ，求 的
值.
20 （本小題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD中， 為正三角形， ， ，AC與BD交于O點．將 沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為 ，且P點在平面ABCD內的射影落在 內．
（Ⅰ）求證： 平面PBD；
（Ⅱ）若 時，求二面角 的余弦值。
21（本小題滿分12分）
中心在坐標原點，焦點在 軸上的橢圓的離心率為 ，且經過點 。
若分別過橢圓的左右焦點 、 的動直線l1、l2相交于P點，與橢圓分別交于A、
B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率 、 、 、 滿足
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得 為定值．若存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．
22 （本小題滿分12分）
已知各項均為正數的數列 滿足： 。
（1）求 的通項公式
（2）當 時，求證：
2013年重慶一中高2013級高三下期第三次月考
數 學 答 案（理科） 2013.5
一.選擇題.(每小題5分,共50分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C A B C C B B
二.填空題.(每小題5分,共25分)
11.0 12. 13. 14. 15. 16.
三.解答題.(共75分)
17.(13分)
解：（1）
，由題意得周期 故 ，又圖象過點 所以 ，即 ，而 ，故 ，
則：
（2）當 時，
當 時，即 時， 是減函數。
當 時，即 時， 是增函數
則函數 的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是
18.(13分)
解：（1）只進行三局比賽，即丙獲勝比賽就結束的概率為
（2）
，
的分布列為：
2 3 4
19.(13分)
解：（Ⅰ） ， 當 時， ，
， ，所以曲線 在 處的切線方程為 切線與 軸、 軸的交點坐標分別為 ， ， 所以，所求面積為 .
（Ⅱ）因為函數 存在一個極大值點和一個極小值點，
所以，方程 在 內存在兩個不等實根，
. ，則
設 為函數 的極大值和極小值，
則 ， ，
因為， ，所以， ，
即 ， ， ，
解得， ，此時 有兩個極值點，所以 .
20.(12分)
解：（1）取BD中點Q，則 三點共線，即Q與O重合。
則 面PBD
（2）因為AC 面PBD，而 面ABCD，所以面ABCD 面PBD，則P點在面ABCD上的射影點在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角 。以O為坐標原點，OA為 軸，OB為 軸建空間直角坐標系。 ，因為AC 面PBD，所以面PBD的法向量 ，設面PAB的法向量 ，又 ，由 ，得 ①，又 ，由 ，得
②， 在①②中令 ，可得 ，則
所以二面角 的余弦值
21.(12分)
解：（1）設橢圓方程為 ，則由題意知 ，則
，則橢圓方程為 ，代入點 的坐標可得
，所求橢圓方程為
（2）當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)．
當直線l1、l2斜率存在時，設斜率分別為 ， ，設 ， ，
由 得 ，∴ ， ．
，同理 ．∵ ， ∴ ，即 ．又 ， ∴ ．
設 ，則 ，即 ，
由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴ 點橢圓上，則存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得 為定值 ．
22(12分)
①當 ，猜想成立；
②假設當 時猜想成立，即 ，
由條件 ，
，
兩式相減得： ，則當 時，
，
時，猜想也成立。
故對一切的 成立。
（2） ，即證：
對 ，令 （ ），則
，
顯然 ， ，所以 ，
所以 ， 在 上單調遞減．
由 ，得 ，即 ．
所以 ， ．
所以
． 得證。
