2014北京
西城一模理科
數學答案
數 學（理科） 2014.4
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
一、題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項，集合，，則集合（ ）（A）（B）（C）（D）2. 已知平面向量，，. 若，則實數的值為（ ）（A）（B）（C）（D）3．在極坐標系中，且與極軸平行的直線方程是（ ）（A）（B）（C）（D）4．執行如圖所示的程序框，那么輸出的a值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．下列函數中，對于任意，同時滿足條件和的函數是（ ）（A）
（C）（B）
（D）
6． “”是“方程表示雙曲線”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
7．某企業為節能減排，用9萬元購進一臺新設備用于生產. 第一年需運營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加2萬元，該設備每年生產的收入均為11萬元. 設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（ ） （A）（B）（C）5（D）6
8. 如圖，設為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有（ ）（A） 4個（B）6個（C）10個（D）14個
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．．，其中，則______．. 若拋物線的焦點在直線上，則_____；的準線方程為_____．
11．12．表示的平面區域是一個四邊形，則實數的取值范圍是_______.
13. 科技活動后，3名輔導教師和他們所指導的3名獲獎學生合影留念（每名教師只指導一名學生），要求6人排成一排，且學生要與其指導教師相鄰，那么不同的站法種數是______. （用數字作答）
14．中，，，，，，P為線段（含端點）上一個動點，設，，對于函數，給出以下三個結論：
當時，函數的值域為；
，都有成立；
，函數的最大值都等于4.
其中所有正確結論的序號是_________.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．13分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. .
（Ⅰ）的大小；
（Ⅱ），，求△ABC的面積.
16．13分）
在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取200個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下. 根據壽命將燈泡分成三個等級，壽命大于或等于500天的燈泡是優等品壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.
壽命（天）頻數頻率2030050合計（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出a，b的值；
（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級恰好與按等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值
（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求X的分布列和
數學期望.17．14分）
如圖，在四棱柱中，底面和側面都是矩形，是的中點，，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：// 平面；
（Ⅲ）與平面所成的銳二面角的大小為，求的.
18．13分）
已知函數 其中．
（Ⅰ）當時，函數的圖象在處的切線方程；
（Ⅱ），且，都有，求的取值范圍19．14分）
已知橢圓，l與W相交于兩點，與x軸、軸分別相交于、點，.
（Ⅰ）的方程為，求外接圓的方程；
（Ⅱ）判斷是否存在直線，使得是線段的兩個三等分點說明理由. 20．13分）
在數列中，. 從數列中選出項并按原順序組成的新數列記為，并稱為數列的項子列. 例如數列為的一個4項子列.
試寫出的一個3項子列，并使為等差數列；
（）為的一個項子列，且為等數列，證明：滿足；
（）為的一個項子列，且為等比數列，證明：.
．．．．．．．．．．
11． ．．．
注：第10題第一問2分，第二問3分. 第14題若有錯選、多選不得分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分.
15．13分）
（Ⅰ）解：因為 ，
所以 ， ……………… 3分
又因為 ，
所以 . ……………… 5分
（Ⅱ）解：因為 ，，
所以 . ………………7分
由正弦定理 ， ………………9分
得 . ………………10分
因為 ，
所以 ，
解得 ，
因為 ，
所以 . ………………11分
故△ABC的面積. ………………13分
16．13分）
（Ⅰ）解：. ……………… 2分
：. ……………… 4分，
所以的最小值為． ……………… 6分的所有取值為. ……………… 7分， ……… 8分3個，可看成3次獨立重復試驗，
所以，
，
，
. ……………… 11分的分布列為：
0123………………12分的
數學期望，，. 請酌情給分）
17．14分）
（Ⅰ）證明：因為底面和側面是矩形，
所以 ，，
又因為 ，
所以 平面， ………………2分
因為 平面，
所以 . ………………4分
（Ⅱ）證明：因為 ，
所以四邊形是平行四邊形.
連接交于點，連接，則為的中點.
在中，因為，，
所以 . ………………6分
又因為 平面，平面，
所以 平面. ………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，
又因為 ，，
所以 平面. ………………9分
設G為AB的中點，以E為原點，EG，EC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸
如圖建立空間直角坐標系，
設，則.
設平面法向量為，
因為 ，
由 得
令，得. ………………11分
設平面法向量為，
因為 ，
由 得
令，得. ………………12分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得 ， ………………13分
解得. ………………14分
18.（本小題滿分13分）
（Ⅰ），其中， ……………… 2分，
又因為，
所以函數的圖象在處的切線方程. ……………… 4分（Ⅱ），的圖象，
配方得， ……………… 5分在上單調遞增，在單調遞減，且.
……………… 6分，且，都有成立，
所以 . ……………… 8分，的圖象，
則 ，
令，解得. ……………… 9分隨著變化時，和的變化情況如下：
↘↗即函數上單調減上單調增. ……………… 11分，且，都有成立，
所以 . ……………… 12分（即），
所以的取值范圍. ……………… 13分．14分）
（Ⅰ）證明：因為的方程為，
所以與x軸，與軸. ……………… 1分
則的中點，，……………… 3分外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為. ……………… 5分
（Ⅱ）解：結論：存在直線，使得是線段的兩個三等分點.
理由如下：
由題意，設直線的方程為，，，
則 ，，……………… 6分
由方程組 得，……………… 7分
所以 ， （*）……………… 8分
由韋達定理，得, .……………… 9分
是線段的兩個三等分點，線段的中點與線段的中點重合.
所以 ，………………10分
解得 .……………… 11分是線段的兩個三等分點，.
所以，……………… 12分
即 ，
解得 .……………… 13分
驗證知（*）成立.
所以存在直線，使得是線段的兩個三等分點，此時直線l的方程為，或.……………… 14分20．13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如，，；……………… 2分
（），
所以 . ……………… 3分
若 ，
由為的一個項子列，
所以 .
因為 ，，
所以 ，即.
這與矛盾.
所以 .
所以 ， ……………… 6分，，
所以 ，即，
綜上，得. ……………… 7分（）證明：由題意，設的公比為，
則 .
因為為的一個項子列，
所以 為正有理數，，.
設 ，且互質，）.
當時，
因為 ，
所以
，
，
所以 .……………… 10分
當時，
因為 中的項，且互質，
所以 ，
所以
.
因為 ，，
所以 .
綜上， .……………… 13分
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