2014
西城一模文科
數學答案(yggk首發)
北京市西城區2014年高三一模試卷
數 學（文科） 2014.4
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．設全集，集合，則集合（ ）（A）（B）（C）（D）
2．已知平面向量，，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）
3．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則此雙曲線的離心
率為（ ）（A）（B）（C）（D）
4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．下列函數中，對于任意，同時滿足條件和的函數是（ ）（A）（B）（C）（D）
6． 設，且，則“函數在上是減函數”是“函數在
上是增函數”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
7．某企業為節能減排，用9萬元購進一臺新設備用于生產. 第一年需運營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加2萬元，該設備每年生產的收入均為11萬元. 設該設備使用了年后，盈利總額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（ ） （A）（B）5（C）6（D）7
8. 如圖，設為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有（ ）（A） 4個（B）6個（C）10個（D）14個
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．，其中，則______．10．的焦點在直線上，則_____；的準線方程為_____．
．若，則實數______；函數的最大值為_____．12．執行如圖所示的程序框，那么輸出的a值為______．．表示的平面區域是一個
四邊形，則實數的取值范圍是__________.
14．中，，，，，，P為線段（含端點）上一個動點. 設，，記，則____； 函數的值域為_________.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．13分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. .
（Ⅰ）的大小；
（Ⅱ），，求的值.
16．13分）
某批次的某種燈泡壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下. 根據壽命將燈泡分成三個等級，壽命大于或等于500天的燈泡是優等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.
壽命（天）頻數頻率0307060合計（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出a，b的值；
（Ⅱ）某人從這燈泡中隨機地購買了1個，求此燈泡恰好是品的概率；
（Ⅲ）某人從這批燈泡中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級恰好與按等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值.14分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，， N是棱的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在點P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
18．13分）
已知函數，其中．
（Ⅰ）當時，求函數的圖象在處的切線方程；
（Ⅱ），，求的取值范圍．
19．14分）
已知橢圓的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，O為坐標原點.
（）求橢圓W的方程.
（）設斜率為的直線l與W相交于兩點，記面積的最大值為，證明：.
20．13分）
在數列中，. 從數列中選出項并按原順序組成的新數列記為，并稱為數列的項子列. 例如數列為的一個4項子列.
（）試寫出的一個3項子列，并使為等比數列；
（）為的一個項子列，且為等數列，證明：滿足；
（）為的一個6項子列，且為等比數列，證明：.．．．．．．．．．．
11． 12．． ．
注：第10、11、14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分.
15．13分）
（Ⅰ）解：因為 ，
所以 ， ……………… 4分
又因為 ，
所以 . ……………… 6分
（Ⅱ）解：因為 ，，
所以 ， ………………8分
由正弦定理 ， ………………11分
得 . ………………13分
16．13分）
（Ⅰ）解：，. ……………… 3分
：燈泡恰好是品. ……………… 4分燈泡恰好是品. …………… 8分：.
……………… 10分，
所以的最小值為． ……………… 13分17．14分）
（Ⅰ）證明：因為底面是矩形，， ……………… 1分平面，平面，
所以 平面……………… 3分，平面SAD， ……………… 5分
平面，
所以 . ……………… 6分
，且N為AD中點，
所以 .
又因為 ，
所以 平面……………… 8分BD交NC于點F，在平面SNC中過F作交于點P，連接PB，PD.
因為 平面平面…………… 11分平面平面…………… 12分矩形，
所以 .
在中，因為，.
則在棱SC上存在點P，使得平面平面，此時. ……… 14分18.（本小題滿分13分）
（）解：由，得，……………… 2分
所以 ，
又因為 ，
所以函數的圖象在處的切線方程為.……………… 4分
（）解：由 ，得，
即 .……………… 6分
設函數，
則 ，……………… 8分
因為，
所以，，
所以當時，，……………… 10分
故函數在上單調遞增，
所以當時，.……………… 11分
因為，成立，，成立 所以.……………… 13分
．14分）
（）解：由題意，得橢圓W的半焦距，右焦點，上頂點，……分
所以直線的斜率為，
解得 ，……………… 3分
由 ，得，
所以橢圓W的方程為.……………… 5分
（）證明：設直線l的方程為，其中或2，.… 6分
由方程組 得，……………… 7分
所以 ， （*）
由韋達定理，得, .……………… 8分
所以 …… 9分因為原點到直線的距離，……………… 10分
所以 ，……………… 11分
當時，因為，
所以當時，的最大值，
驗證知（*）成立；……………… 12分
當時，因為，
所以當時，的最大值；
驗證知（*）成立.
所以 .……………… 14分
注：本題中對于任意給定的，的面積的最大值都是.20．13分）
（）解：答案不唯一. 如3項子列，，.……………… 2分（），
所以 . ……………… 4分，，
所以 ，
解得 .
所以. ……………… 7分（）證明：由題意，設的公比為，
則 .
因為為的一個6項子列，
所以 為正有理數，.……………… 8分
設 ，且互質，）.
當時，
因為 ，
所以
，
所以 .……………… 10分
當時，
因為 中的項，且互質，
所以 ，
所以
.
因為 ，，
所以 .
綜上， ……………… 13分
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