資陽市高中2011級模擬考試
數 學（）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至頁150分考試時間120分鐘和答題卡一并收回第Ⅰ卷 （選擇題 共0分）
注意事項：
答題卡上涂黑10小題，每小題5分，共0分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，則集合＝
（A）{x| 0＜x＜}（B）{x|＜x}
（C）{x| 1＜x ≤ 4}（D）{x| x＜}
2．表示的點關于虛軸對稱，則復數z＝
（A）（B）（C）（D）3．（A）”是“函數是奇函數”的充要條件
（B），，則，
（）若為假命題，則均為假命題（D），則”的否命題是“若，則”
4．（A）（B）（C）
（D）
5．如圖，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得m，，，則A、B兩點的距離為
（A）（B）
（C）（D）．用0，1，2，3，4這五個數字組成沒有重復數字個數是
（A）（B）
（C）（D）．若x，y滿足約束條件目標函數z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，則實數a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）
已知實數，執行右圖所示的，則輸出x的不小于55的概率為
（A）（B）
（C）
（D）
．上除頂點外的任意一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，△的內切圓與邊相切于點M，則
（A）（B）（C）（D）
10．已知函數若，為某一個三角形的邊長，則實數的取值范圍是
（A）（B）（C）（D） 第Ⅱ卷非選擇題 共0分注意事項：
11．__________．12．在ABC中，，，，則_____．13．中的網格是邊長為1的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為
14．已知等邊三角形的一個頂點在坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，則該三角形的面積是________．
15．設表示不超過的最大整數，如，．給出下列命題：
①對任意實數，都有；
②對任意實數，y，都有；
③；
④若函數，當時，令的值域為A，記集合A的元素個數為，則的最小值為．
其中所有真命題的序號是_________________．
三、解答題：共6大題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16．（本小題滿分12分）設平面向量，，函數．
（Ⅰ）當時，求函數的取值范圍；
（Ⅱ）當，且時，求的值．
17．（本小題滿分12分）已知數列滿足：．
（Ⅰ）求證數列是等比數列；
（Ⅱ）令，是否存在正整數m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
18．（本小題滿分12分）（Ⅰ）（Ⅱ），求甲在初賽中答題個數的分布列和
數學期望．
19．（本小題滿分12分） 如圖，ABCD是梯形，CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90(，，M是AE上的動點．
（Ⅰ）試點M，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．
20．（本小題滿分13分），點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）的三個動點，A與B關于原點對稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點C的坐標，若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分） 資陽市高中2011級模擬考試
（）
，．11. －20；12.；13. ；14.；15.①.
三、解答題：共6大題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16．解析：（Ⅰ）．當時，，則，，
所以的取值范圍是．（Ⅱ）由，得，因為，所以，得，．12分
17．解析：（Ⅰ）時，，解得，1分
當時，由， 2分
兩式相減，得，即（），3分
則，故數列是以為首項，公比為3的等比數列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6分
所以，7分
則， 8分
由對任意都成立，得，10分
即對任意都成立，又，
所以m的值為1，2，3．12分
18．解析：（Ⅰ）設平均成績為，則：
．（Ⅱ）記甲在初賽中答題個數為隨機變量，的可能值為34，5，
，，（或）．
則的分布列為
345p所以
數學期望．19．解析：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結CE，交DF于N，連結MN，
由于MN分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF．（Ⅱ）方法一、與平面ABCDAC∥平面DMF，AC∥l，
過點M作MG⊥AD于G，
因為平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，
所以MG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥l于H，連結MH，則直線l⊥平面MGH，所以l⊥MH，
故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角，則，，
，則，11分
所以，即所求二面角的余弦值為．12分
方法二、平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，分別以，，的方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O－xyz．設，則，，，，
設平面MDF，
則所以
令，得平面MDF，8分
取平面ABCD的法向量，9分
由，11分
故平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．12分
20．解析：（Ⅰ），
故動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓．2分
設其方程為，可知，，則， 3分
所以點Q的軌跡的方程為．4分
（Ⅱ）．6分
（ⅱ）方法一、當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，則直線AB的直線方程為，設點，
聯立方程組消去y得，，
由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為，同理可得點C的坐標滿足，，則，，
8分
則．9分
由于，
所以，當且僅當，即時取等號．
綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，△ABC的面積取最小值，11分
此時，，即，，
所以點C的坐標為，，，．方法二、記，則，所以，
故，即時，有最大值，此時取得最小值．
綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，△ABC的面積取得最小值．11分
此時，，即，，
所以點C的坐標為，，，．方法、，，根據A，B兩點關于原點對稱，
則，所以，
由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點，則OC⊥AB，，，
由，……………………………………①
且點C在橢圓上，則…………………②
聯立①②，解得，，所以，8分
所以，9分
又，即，所以，
記，，，
則，當且僅當，即時等號成立，
綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，有最小值．11分
所以點C的坐標為，，，．21．解析：（）由．
當時，對，有，所以函數在區間單調遞增；
當時，由，得；由，得，
函數的單調增區間為，單調減區間為．
綜上所述，當時，函數的單調增區間為；
當時，函數的單調增區間為，單調減區間為．4分
（）函數定義域為，由，得（），令（），則，，，，時，，
故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故．又由（Ⅰ）知當時，對，有，即，
隨著的增長，的增長速度越越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越越慢則當且無限接近于0時，趨向于正無窮大
當時，函數有兩個不同的零點；
當時，函數有且僅有一個零點；
當時，函數沒有零點．9分
（）由（Ⅱ）知當時，，故對，
先分析法證明：，要證，，
只需證，
即證，
構造函數，則，
故函數在單調遞增，所以，則成立．當時，由（Ⅰ），在單調遞增，則在上恒成立；
當時，由（Ⅰ），函數在單調遞增，在單調遞減，當時，，所以，則不滿足題意．
所以滿足題意的取值范圍是．
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