2014年長春市高中畢業班第一次調研測試數學（理科）試題參考答案及評分標準
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填寫在答題紙上）
題號123456789101112答案BBADCDADBDCC1.【試題答案】【試題解析】的虛部為，得的虛部為，故選.
2.【試題答案】【試題解析】，，所以，故選.
3.【試題答案】【試題解析】，∴將選項代入驗證，當時，取得最值，故選.
4.【試題答案】【試題解析】中的幾何意義為：拋物線的焦點到準線的距離，又，故選.
5.【試題答案】【試題解析】，又，則，即，解得或，故選.
6.【試題答案】【試題解析】，
所以，，
，故選.
7.【試題答案】【試題解析】，得,則表示該
組平行直線在軸的截距。又由約束條件
作出可行域如圖，先畫出，經
平移至經過和的交點時，取得
最大值，代入，即，所以
，故選.
8.【試題答案】【試題解析】可能在平面內；B選項，如果直線不在平面內，不能得到；C選項，直線與可能平行，可能異面，還可能相交；故選.
9.【試題答案】【試題解析】得，又，，
則，，所以有，即，從而
解得，又，所以，故選.
10.【試題答案】【試題解析】球的表面積，再加上個圓面積，故，又球半徑，，故選.
11.【試題答案】【試題解析】表示的平面區域如圖
所示，函數具有性質，則函
數圖像必須完全分布在陰影區域①
和②部分，分布在區
域①和③內，分布
在區域②和④內，圖像
分布在區域①和②內，
在每個區域都有圖像，故選
12.【試題答案】【試題解析】，
易知時，；時，
所以在上恒成立，故在上是增函數，又，
∴只有一個零點，記為，則.
同理可證明也只有一個零點，記為，且.故
有個不同零點，,即將向左平移
個單位，即將向右平移個單位，∴，，
又函數零點均在區間內，故當，
時，即 的最小值，故選
第Ⅱ卷 （非選擇題，共90分）
二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）
13.【試題答案】 【試題解析】【試題答案】，上下底面中心設為，，由題意，外接球心為的中點，設為，則，由 ，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以該三棱柱的體積為.
15.【試題答案】【試題解析】與圓交于,，則直線的方程為：
，
化簡得：
又圓平分圓的周長，則直線過,代入的方程得：,
∴
.
16.【試題答案】 ③
【試題解析】，
則，故①錯。
，∴，故②錯。在是單調遞增的周函
數，知，故，故③正確，易知④錯。綜上，正確序號為③。
三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
17.【試題解析】的公差為，
則，
又，則，故. ……………………………………………6分
（2）由（1）可得，又，
即，化簡得，
解得或（舍），所以的值為4.……………………………………12分
18.【試題解析】
…………4分
因為，所以最小正周期. ……………………6分
（2）由（1）知，當時，.
由正弦函數圖象可知，當時，取得最大值，又為銳角
所以. ……………………8分
由余弦定理得，所以或
經檢驗均符合題意. ……………………10分
從而當時，△的面積；……………11分
. ……………………12分
19.【試題解析】交于，
∵四邊形為正方形，
∴，
∵正方形與矩形所在平面互相垂直，交線為，，
∴平面，又平面
∴，
又，∴平面，
又平面，∴.……………………………………………6分
（2）存在滿足條件的.
【解法一】假設存在滿足條件的點，過點作
于點，連結
，則，
所以為二面角的平面角，
……………………9分
所以，
在中，所以，
又在中，，所以，∴ ，
在中，，
∴．
故在線段上存在一點，使得二面角為，且. ………………………………………12分
【解法二】依題意，以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，因為，，，，，所以，.
易知為平面的法向量，設，所以,
設平面的法向量為，所以，即，
所以，取，
則，又二面角的大小為，解得.
又因為，所以.
故在線段上是存在點，使二面角的大小為.
……………………………………………12分
20.【試題解析】.由題意的中垂線方程分別為，
于是圓心坐標為.所以，
整理得， ……………………………………………4分
即，
所以，于是，即.
所以，即. ……………………………………………6分
（2）當時，，此時橢圓的方程為，
設，則，
所以. …………………8分
當時，上式的最小值為，即，得；…………10分
當時，上式的最小值為，即，
解得，不合題意，舍去.
綜上所述，橢圓的方程為. ……………………………………12分
21.【試題解析】，其定義域為，則，2分
對于，有.
①當時，，∴的單調增區間為；
②當時，的兩根為，
∴的單調增區間為和，
的單調減區間為.
綜上：當時，的單調增區間為；
當時，的單調增區間為和，
的單調減區間為. ………6分
（2）對，其定義域為.
求導得，，
由題兩根分別為，，則有，， ………8分
∴，從而有
，……10分
.
當時，，∴在上單調遞減，
又，
∴. ………………12分
請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22. 【試題解析】 (1)所以，即為的中點.…5分
(2)由為圓的直徑，易得 ，，
∴. ………10分
23. 【試題解析】的參數方程，即（為參數）
由題知點的直角坐標為，圓半徑為，
∴圓方程為 將 代入
得圓極坐標方程 ………5分
（2）由題意得，直線的普通方程為，
圓心到的距離為，
∴直線與圓相離. ………10分
24. 【試題解析】，即，
當時，則，得，∴；
當時，則，得，恒成立，∴ ；
當時，則，得，∴；
綜上，. ………5分
（2）當時， 則，.
即：，，∴，
∴，即，
也就是，
∴，
即：，
即. ………10分
1
A
第7題圖
第11題圖
O
第19題圖（1）
第19題圖2
第19題圖（2）
2014年長春市高中畢業班第一次調研測試理科
數學試題參考答案及評分標準
