玉溪一中201屆試題班級
第卷（選擇題，共分）
一、選擇題本大題共個小題，每小題分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1.設集合{1，2}，則滿足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個數是
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
2.若復數（a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為
A. －2 B. 6 C. 4 D. －6
3.下列命題中是假命題的是
A.x∈(0，)，x＞sinx B. x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
C.x∈R，3x＞0 D. x0∈R，lgx0＝0
4.函數f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內
A.沒有零點 B.有且僅有一個零點 C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點
5.已知數列{an}為等比數列，Sn是它的前n項和.若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5＝
A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
6.如圖，圓O：x2＋y2＝π2內的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區域記為M（圖中陰影部分），隨機往圓O內投一個點A，則點A落在
區域M內的概率是
A. B. C. D.
7.函數y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且|φ|＜）在區間[，]上單調遞減，且函數值從1減小到－1，那么此函數圖象與y軸交點的縱坐標為
A. B. C. D.
8.設直線x＝t與函數f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為
A. 1 B. C. D.
9.如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的
表面積為
A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π
10.已知橢圓C1：＋＝1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點.若C1恰好將線段AB三等分，則
A. a2＝ B. a2＝13 C. b2＝ D. b2＝2
11.已知函數f(x)＝ex＋x.對于曲線y＝f(x)上橫坐標成等差數列的三個點A，B，C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.
其中，正確的判斷是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
12.函數f(x)的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數f(x)在D上為非減函數.設函數f(x)在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).則f()＋f()＝
A. B. C. 1 D.
第卷（非選擇題，共分）
二、填空題本大題小題，每題分，共分
13.二項式(x3－)5的展開式中的常數項為 .
14.若以雙曲線－y2＝1的右頂點為圓心的圓恰與雙曲線的漸近線相切，則圓的標準方程是 .
15.定義在實數上的函數f(x)＝的最小值是 .
16.設函數f(x)＝x2－1，對任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實數m的取值范圍是 .
三、解答題本大題共小題，共分
17.（本小題滿分12分）
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝ .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S.
18.（本小題滿分12分）
某地區舉行一次
數學新課程骨干教師研討會，共邀請15名使用人教A版或人教B版的教師，數據如下表所示：
版本人教A版人教B版性別男教師女教師男教師女教師人數6342（Ⅰ）從這15名教師中隨機選出2名教師，則這2名教師恰好是教不同版本的男教師的概率是多少？
（Ⅱ）研討會中隨機選出2名代表發言，設發言代表中使用人教B版的女教師的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和
數學期望.
19.（本小題滿分12分）
如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2
的正方形，AE＝EB，點F在CE上，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.
20.（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.
（Ⅰ）求函數f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有一個公共點，求實數a的值.
21.（本小題滿分12分）
設a≥0，函數f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－ .
（Ⅰ）當a≥1時，求f(x)的最小值；
（Ⅱ）假設存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范圍.
請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.
.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，已知圓C的方程是p＝4，直線l的方程是psin(θ＋)＝3，求圓C上的點到直線l的距離的最大值.
23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
設函數f(x)＝|x－2a|，a∈R.
（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集為{x|1＜x＜3}，求a的值；
（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范圍.
玉溪一中201屆試題
一、選擇題本大題共1個小題，每小題分，共分.二、填空題本大題個小題，每題分，共分.－10； 14. (x－2)2＋y2＝； 15.－； 16.(－∞，－]∪[，＋∞).
三、解答題本大題共個小題，共分.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，設＝＝＝k，
則＝＝，
所以＝，
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，
化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又A＋B＋C＝π，
所以sinC＝2sinA.
因此＝2.
（Ⅱ）由＝2得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×.
解得a＝1，從而c＝2.
又因為cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，
因此S＝acsinB＝×1×2×＝ .
18.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）從15名教師中隨機選出2名共有種選法，
所以這2名教師恰好是教不同版本的男教師的概率是＝ .
（Ⅱ）由題意知，ξ的所有可能取值為0，1，2.
則P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝ .
故ξ的分布列為
ξ012P所以ξ的
數學期望Eξ＝0×＋1×＋2×＝ .
19.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE，
∵ 二面角D—AB—E為直二面角，
∴ 平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE，
又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE.
（Ⅱ）連接BD交AC于點G，連接FG，
∵ 四邊形ABCD為正方形，∴ BD⊥AC，
∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC，
又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG.
∴ FG⊥AC，∠FGB為二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，
∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝，
在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝，
在正方形ABCD中，BG＝，
在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝ .
即二面角B—AC—E的正弦值為 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，點D到平面ACE的距離等于點B到平面ACE的距離，而BF⊥平面ACE，則線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為點D到平面ACE的距離.故點D到平面ACE的距離為＝ .
20.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，
① 當0＜t＜時，函數f(x)在(t，)上單調遞減，在(，t＋2)上單調遞增，
此時函數f(x)在區間[t，t＋2]上的最小值為f()＝－；
② 當t≥時，函數f(x)在[t，t＋2]上單調遞增，
此時函數f(x)在區間[t，t＋2]上的最小值為f(t)＝tlnt.
（Ⅱ）由題意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且僅有一個根，即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且僅有一個根，
令h(x)＝lnx＋x＋，則h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)，
易知h(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
21.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]ex＝(x＋a)(x－1)ex，
∵ a≥1， ∴ 當x∈(－∞，－a)時，f(x)遞增，當x∈(－a，1)時，f(x)遞減，當x∈(1，＋∞)時，f(x)遞增.
∴ 函數f(x)的極大值點為x1＝－a，極小值點為x2＝1，
而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝＞0，
令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，則其圖象的對稱軸為x＝＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，
∴ 當x≤－a時，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴ f(x)＞0.
當x＞－a時，f(x)的最小值為f(1)＝(1－a)e≤0.
∴ f(x)的最小值是(1－a)e.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，當0≤a＜1時，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).
而g(x)＝2－a－x－≤3－a－2＝－a－1，當且僅當x＝1時，等號成立，
故g(x)在(0，＋∞)上的值域為(－∞，－a－1]，
∴ 當a≥1時，令(1－a)e－(－a－1)＜1，并解得a＞，
當0＜a＜1時，令0－(－a－1)＜1，無解.
因此，a的取值范圍是(，＋∞).
22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程
解：以極點為坐標原點，極軸為x軸，建立平面直角坐標系，易得圓C的直角坐標方程是x2＋y2＝16，
直線l的直角坐標方程是y＋x－6＝0，
圓心C(0，0)到直線l的距離d＝＝3，
∴ 圓C上的點到直線l的距離的最大值為3＋4＝7.
23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
解：（Ⅰ）由題意可得|x－2a|＜1可化為2a－1＜x＜2a＋1，
即，解得a＝1.
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝，
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