2013～2014學年度第一學期期中考試

高三數學參考答案與評分標準

故， …13分[]

所以數列的前n項和．                                 ……14分

16. 解：（1）因為a·b =2 + sinθcosθ = , 所以sinθcosθ = ，所以（sinθ +cosθ2 = 1+2sinθcosθ = ．

又因為θ為銳角，所以sinθ + cosθ = ．因為a∥b，所以tanθ = 2，所以sin2θ = 2sinθcosθ = = = ，cos2θ = cos2θ-sin2θ =  =  = — ．所以sin(2θ+ ) = sin2θ + cos2θ = = ．（1）時，,                ……2分

由圖象可知，的單調遞增區間為．                  ……4分

（2），所以．……6分

當，即時，；                   ……7分

當，即時，．                          ……8分

．                                         ……9分

（3）①當時，圖象如圖1所示．

由得．            ……12分

②當時，圖象如圖2所示．

由得．            ……14分

18. 解：（1）延長BD、CE交于點A，則，則．

．          ……4分

（2）

         ……6分

當，即時，

．                 ……8分

（3）令，  ……10分

則，

，令得，，                  ……12分

在上是減函數，在上是增函數，

，PQmax = 2，               ……14分

此時，P點在B處，Q點在E處。        ……16分

19. 解：（1）由已知，，所以，

兩式相減得，，解得，                      ……3分

又，解得，                                   ……5分

故                                                     ……6分

（2）由（1），知  ……7分

①，       ……8分

，

   ……10分

故                                                ……11分

②假設在數列中存在三項（其中成等差數列）成等比數列，

則，即．                        ……13分

因為成等差數列，所以，（）代入上式得： ，（）[]

由（），（），得，這與題設矛盾．                             ……15分

所以，在數列中不存在三項（其中成等差數列）成等比數列．

                                                                      ……16分

20. 解：（1）                                 ……2分

函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，

所以．                                    ……4分[學科]

（2）因為，所以，                 ……5分

因為在區間上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，，有=，（）           ……6分

又當時有，                             ……7分

綜上                                                         ……8分

（3）∵，又，

∴，兩式相減，得， 

∴,                                         ……10分

于是

．                           ……11分

．

要證：，只需證：

只需證：．令，化為 即可．，…14分

在（0，1）上單調遞增，     ……15分

，即．．