安徽皖南八校2013-2014學年高三上學期第一次模擬考試理科數學
 

一、選擇題

1．，則在復平面內對應的點位于

A．      B．      C．      D．2．，則

A．      B．      C．      D．3．”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍是

A．      B．      C．      D．4．，則函數的零點位于區間

A．      B．      C．      D．5．，則等于

A．      B．      C．      D．6．、滿足，則的取值范圍為

A．      B．      C．      D．7．滿足，且當時，，則

A．  B． C．      D．8．為等邊三角形，，設滿足，若，則等于

A．      B．      C．      D．9．，將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，且，則

A．      B．      C．      D．10．函數的定義域為D,若對于任意,當時都有,則稱函數在D上為非減函數,設函數在[0,1]上為非減函數,且滿足以下三個條件:①;②;③,則等于      (    )A.      B.      C.1       D.

二、填空題

11．，則         。

12．，如果存在實數，使得對任意的實數都有，則的最小值是            。

13．，設，若，則的取值范圍是       。

14．中，分別是的對邊，已知，若，則的面積等于          。

15．中，被5除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，則下列結論正確的為        （寫出所有正確的編號）

①； ②；③；④“整數屬于同一類”的充要條件是“”；⑤命題“整數滿足，則”的原命題與逆命題都為真命題。

三、解答題

16．中，內角的對邊分別為，并且。

（1）求角的大小；   （2）若，求。

17．的函數（為實數）。

（1）若是奇函數，求的值；   

（2）當是奇函數時，證明對任何實數都有成立。

18．。

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當，且，求函數的單調區間。

19．中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合。終邊交單位圓于點，且，將角的終邊按逆時針方向旋轉，交單位圓于點，記。

（1）若，求；

（2）分別過作軸的垂線，垂足依次為，記的面積為，的面積為，若，求角的值。

20．已知函數和．其中．

（）若函數與的圖像的一個公共點恰好在軸上，求的值；

（）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當時，

21．和，且。

（1）求函數，的表達式；

（2）當時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍。

皖南八校2014屆高三第一次聯考

數學理試卷參考答案

1．A　∵z＝＝－，∴＝＋，應選

2．C　由，x≥1，∴A＝{x|x≥1}，B＝{x|0b≥0，f(a)＝f(b)同時成立，≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b＋b＝(b＋)－

 ≤b·f(a)<2.

14.　因為b＝c(b＋2c)，所以b－c＝bc＋c，(b－c)(b＋c)＝c(b＋c)，∴b＝2c.

由余弦定理得6＝b＋c－2bc＝5c－c，∴c＝2，b＝4.

＝bc＝4＝.

　依題意2013被5除的余數為3，則①正確；－1＝5×(－1)＋4，則②錯誤；

整數集就是由被5除所得余數為0，1，2，3，4的整數構成，③正確；假設④中a＝n1＋m，b＝n2＋m，a－b＝(n1－n)＋m－m，a，b要是同類，則m－m＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；因為a∈[1]，b∈[3]，所以可設a＝5n＋1，b＝5n＋3，∴a＋b＝5(n＋n)＋4∈[4]，a＝5，b＝9滿足a＋b∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，⑤錯誤．

解：(1) ∵2－(＋＋1)＝0，

cos2－(＋＋1)＝0，(2分)

即2·－(＋＋1)＝0，(3分)

即－＝1，亦即(C＋)＝.(5分)

為△ABC的內角，

＜C＜，∴＜C＋＜(7分)

從而C＋＝，∴C＝(8分)

(2)∵a＝2，c＝2，

由余弦定理得b＋(2)－2×b×2＝.(10分)

即b－6b＋8＝0，

解得：b＝2或b＝4.(12分)

解：(1)(法一)因為f(x)是奇函數，所以f(0)＝0，

即＝0，∴a＝1，∴f(x)＝，

(1)＝－f(－1)，∴＝－，∴b＝2.(6分)

(法二)因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－對任意實數x成立．化簡整理得(2a－b)·2＋(2ab－4)·2＋(2a－b)＝0，這是關于x的恒等式，所以，所以(舍)或.

所以f(x)＝＝－＋.(6分)

(2)f(x)＝＝－＋，因為2，所以2＋1>1，0<<1，

從而－0)，

令f′(x)＝0，可得x，x＝a.(6分)

當a>時，由f′(x)>0或x<，

(x)在(0，)，(a，＋∞)上單調遞增．

由f′(x)<00可得f(x)在(0，a)，(，＋∞)上單調遞增．

由f′(x)<0可得f(xa，)上單調遞減．(12分)

解： (1)由三角函數定義，得x＝，x＝(α＋)．

因為α∈(，)，＝，  

所以in α＝＝，

所以x＝(α＋)＝－＝.(6分)

(2)依題意得y＝，y＝(α＋)．

所以S＝x1＝＝，

＝|x＝[－(α＋)]·(α＋)＝－(2α＋)，

依題意得＝－2(2α＋),   

整理得＝0.

因為，所以，所以2α＝，即α＝(13分)

解：(1)設函數g(x)圖象與x軸的交點坐標為(a，0)，

又∵點(a，0)也在函數f(x)的圖象上，∴a＋a＝0.

而a≠0，∴a＝－1.(4分)

(2)由題意可知f(x)－g(x)＝a(x－p)(x－q)．

，∴a(x－p)(x－q)>0，∴當x∈(0，p)時，f(x)－g(x)>0，

即f(x)>g(x)．

又f(x)－(p－a)＝a(x－p)(x－q)＋x－a－(p－a)＝(x－p)(ax－aq＋1)，

－p<0，且ax－aq＋1>1－aq>0，∴f(x)－(p－a)<0，∴f(x)