河南十所名校2013年高考理科
數學仿真試題卷下載 附答案詳解
本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分,考生作答時，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上答題無效,考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷 選擇題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設復 數 ＝a－bi，則a＋b＝
A．1 B．3 C．－1 D．－3
2． 已知全集U＝{x∈Z｜ －9x＋8＜0}，M＝{3，5，6}，N＝{x｜ －9x＋20＝0}，則集合{2，7}為
A．M∪N B．M∩N C．CU（M∪N） D．CU（M∩N）
3．設x∈R，向量a＝（2，x），b＝（3，－2），且a⊥b，則｜a－b｜＝
A．5 B． C．2 D．6
4．一個幾何體的三視圖如圖 所示，則這個幾何體的體積為
A． B．16
C． D．
5．將函數f（x）＝sin（2x＋ ）的圖象向右平移 個單位后得到函數y＝g（x）的圖象，則g（x）的單調遞增區間為
A．[2kπ－ ，2kπ＋ ] （k∈Z） B．[2kπ＋ ，2k π＋ ] （k∈Z）
C．[kπ－ ，kπ＋ ] （k∈Z） D．[kπ＋ ，kπ＋ ] （k∈Z）
6．如果執行下面的程序框圖，輸出的S＝240，則判斷框中為
A．k≥15?
B．k≤16?
C．k≤15?
D．k≥16?
7．已知中心在坐標原點的雙曲線C與拋物線 ＝2py
（p ＞0）有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且
AF⊥y軸，則雙曲線的離心率為
A． B．
C． D．
8．已知實數x，y滿足 如果目標函數z＝5x－4y的最小值為－3，則實數m＝
A．3 B．2 C． 4 D．
9．已知四面體ABCD中， AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，AB⊥平面ACD，則四面體
ABCD外接球的表面積為
A．36π B．88π C．92π D．128π
10．設函數f（x）＝2 －2k （a＞0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函數又是減函數，則g（x）＝ 的圖象是
11．若直線y＝－nx＋4n （n∈N﹡）與兩坐標軸所圍成封閉區域內（不含坐標軸）的整點的個數為 （其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點），則 （a1＋a3＋a5＋…＋a2013）＝
A．1012 B．2012 C．3021 D．4001
12．定義在實數集R上的函數y＝f（x）的圖象是連續不斷的，若對任意實數x，存在實常
數t使得f（t＋x）＝－tf（x）恒成立，則稱f（x）是一個“關于t函數”．有下列“關
于t函數”的結論：①f（x）＝0是常數函數中唯一一個“關于t函數”；②“關于 函
數”至少有一個零點；③f（x）＝ 是一個“關于t函數”．其中正確結論的個數是
A．1 B．2 C．3 D．0
第Ⅱ卷 非選擇題
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題－第21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22題－第24題為選考題，考生根據要求作答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．已知某化妝品的廣告費用x（萬元）與銷售額y（百萬元）的統計數據如下表所示：
從散點圖分析，y與x有較強的線性相關性，且 ＝0．95x＋ ，若投入廣告費 用為5
萬元，預計銷售額為____________百萬元．
14．已知遞增的等比數列{ }（n∈N﹡）滿足b3＋b5＝40，b3•b5＝256，則數列{ }的前10項和 ＝_______________．
15．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為 －8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值為_________．
16．對于 （m，n∈N，且m，n＞2）可以按如下的方式進行“分解”，例如 的“分解”
中最小的數是1，最大的數是
13．若 的“分解”中最小的
數是651，則m＝___________．
三、解答題：解答應寫出文字說明。證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點（a，b）在直線4xcosB－ycosC＝ccosB上．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若 • ＝3，b＝3 ，求a和c．
18．（本小題滿分12分）
某園藝師培育了兩種珍稀樹苗A與B，株數分別為12與18，現將這30株樹苗的高度編
寫成莖葉圖如圖（單位：cm）：
若樹高在175cm以上（包括175cm）定義為“生長良好”，樹高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非生長良好”，且只有“B生長良好”的才可以出售．
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“生長良好”和“非生長良好”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一株“生長良好”的概率是多少?
（Ⅱ）若從所有“生長良好”中選3株，用X表示所選中的樹苗中能出售的株數，試寫出X的分布列，并求X的
數學期望．
19．（本小題滿分12分）
如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝6，O為AC，BD的交點．將
四邊形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B－ACD，且BD＝3 ．
（Ⅰ）若M點是BC的中點，求證：
OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A－BD－O的
余弦值．
20．（本小題滿分12分）
設橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，且內切于圓 ＝9．
（Ⅰ）求橢圓C的方程 ；
（Ⅱ）過點Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）與該橢圓交于M，N兩點，與y軸交于點R，若 ＝λ ， ＝μ ，試判斷λ＋μ是否為定值，并說明理由．
21．（本小題滿分12分）
已知函數g（x）＝ lnx－bx－3（b∈R）的極值點為x＝1，函數h（x）＝a ＋bx＋4b－1．
（Ⅰ）求函數g（x）的單調區間，并比較g（x）與g（1）的大小關系；
（Ⅱ）當a＝ 時，函數t（x）＝ln（1＋ ）－h（x）＋x＋4－k（k∈R），試判斷函數t（x）的零點個數；
（Ⅲ）如果函數f（x）,f1（x）,f2（x）在公共定義域D上，滿足f1（x）＜f（x）＜f2（x），那么就稱f（x）為f1（x），f2（x）的“伴隨函數”，已知函數f1（x）＝
（a－ ） ＋2ax＋（1－ ）lnx, f2（x）＝ ＋2ax，若在區間（1，＋∞）上，函數f（x）＝g（x）＋h（x）是f1（x）,f2（x）的“伴隨函數”，求a的取值范圍．
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請寫清題號．
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形ACED是圓內接四邊形，延長AD與
CE的延長線交于點B，且AD＝DE，AB＝2AC．
（Ⅰ）求證：BE＝2AD；
（Ⅱ）當AC＝2，BC＝4時，求AD的長．
23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系,xOy中，曲線C1： ＝1，以平面直角坐標系xOy的原點O為 極點，x軸的正半 軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線l：3cosθ－2sinθ＝ ．
（Ⅰ）將曲線C1上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的2倍、3倍后得到曲線C2，試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C2的參數方程；
（Ⅱ）求C2上一點P到l的距離的最大值．
24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函數f（x）＝｜x－m｜＋｜x＋6｜（m∈R）．
（Ⅰ）當m＝5時，求不等式f（x）≤12的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥7對任意實數x恒成立，求m的取值范圍．
（17）解：（Ⅰ）由題意得 ，……………………………（1分）
由正弦定理得 ， ， ，
所以 ，………………………………………（3分）
即 ，
所以 ，…………………………………………………（5分）
又 ，
所以 .………………………………………………………………………………（6分）
(Ⅱ）由 得 ，又 ，所以 .………………（9分）
由 ， 可得 ，
所以 ，即 ，………… …………………………………………………（11分）
所以 .…………………………………………………………………………（12分）
（18）解：（Ⅰ）根據莖葉圖知，“生長良好”的有12株，“非生長良好”的有18株.
…………………………………… ……………………………………………………………（1分）
用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是 .…………………………………（2分）
“生長良好”的有 株，“非生長良好”的有 株.
用事件 表示“至少有一株‘生長良好’的被選中”，則
因此從5株樹苗中選2株，至少有一株“生長良好”的概率是 .……………………（6分）
（Ⅱ）依題意，一共有12株生長良好，其中 種樹苗有8株， 種樹苗有 4株，則 的所有可能取值為0，1，2，3，
………………………………………（9分）因此 的分布列如下：
X 0 1 2 3
…………………………………………………………………………………………(10分) 所以 .……………………………………（12分）
令 ，則 ，所以 .……………………………………（9分）
因為 , 所以 平面 .
平面 的法向量與 平行，
不妨取平面 的一個法向量為 ，
則 ，
又二面角 是銳二面角，
所以二面角 的余弦值為 .………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）因為圓 的直徑為6，依題意知 ，所以 ，……（2分）
又因為 ，所以 ，所以 ，…………………………………………（5分）
所以橢圓 的方程為 .…………………………………………………………（6分）
（Ⅱ） 是定值，且 .……………………………………………………（7分）
理由如下：
依題意知，直線 的斜率存在，故可設直線 的方程為 ，
設 ，由 消去 并整理，
得 ，
所以 ①， ②， …………………………………（9分）
因為 ，所以 ，
即 又 與 軸不垂直，所以 ，
所以 ，同理 ，………………………………………………………（11分）
所以 ，
將①②代入上式可得 ，即 為定值.……………………………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）易知函數 的定義域是 ，且 ，……………（1分）
因為函數 的極值點為 ,
所以 ，且 ,
所以 或 （舍去）,…………………………………………………………………（2分）
所以 ， ，
所以當 時，函數 沒有零點；
當 時，函數 有四個零點；
當 時，函數 有兩個零點；
當 時，函數 有三個零點；
當 時，函數 有兩個零點.…………………………………………………………（8分）
（Ⅲ） ，
在區間 上，函數 是 的“伴隨函數”，則 恒成
綜合①②可知 的取值范圍是 .…………………………………………………(12分)
（22）解：(Ⅰ) 因為四邊形 為圓的內接四邊形,所以 ………（1分）
又 所以 ∽ ，則 .……………………………（3分）
而 ，所以 .…………………………………………………………（4分）
又 ，從而 ……………………………………………………………（5分）
(Ⅱ)由條件得 .……………………………………………………………（6分）
設 ，根據割線定理得 ，即
所以 ，解得 ,即 .……………………………………（10分）
（23）解：(Ⅰ) 由題意知，直線 的直角坐標方程為 .………………（2分）由題意得曲線 的直角坐標方程為 ，
所以曲線 的參數方程為 .………………………………（5分）
(Ⅱ) 設點 的坐標為 ，則點 到直線 的距 離為
，
所以當 時， .……………………………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）當 時， 即 ，
當 時，得 ，即 ，所以 ；
當 時，得 成立，所以 ；
當 時，得 ，即 ，所以 .
故不等式 的解集為 .………………………………………（5分）
（Ⅱ）因為 ，
由題 意得 ，則 或 ，
解得 或 ,
故 的取值范圍是 .…………………………………………………（10分）
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