2013年
北京高考理科
數學最后預測卷及其答案免費下載
俯視圖
側視圖
正視圖 2
2
2
2
4
3 3
一、 選擇題（共40分，每小題 5分)
1. 如圖所示的韋恩圖中，
AB ，
是非空集合，定義
AB
表示陰影部分集合．若
, x y R
，
2
2 A x y x x
，
3 , 0 x
B y y x
，則
AB
=（ ）．
A．
(2, )
B．
0,1 (2, )
C．
0,1 (2, )
D．
0,1 [2, )
2. 已知命題 ，那么命題 為（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知數列 { }滿足 ，且 ，則
的值是（ ）
A． B． C．5 D．
4. 已知四棱錐
P ABCD
的三視圖如圖1所示，則四棱錐
P ABCD
的四個側面中面
積最大的是( )
A．
6
B．
8
C．
25
D．
3
5. 兩直線
和
cos( ) a
的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
6. 函數
( )= sin( ) f x M x
（
M ， ，
是常數
0 M
，
0
，
0
）的部分圖像如
圖所示，其中
AB ，
兩點之間的距離為 5，那么
( 1) f
（ ）
A．2 B．
1
C．
2
D．
1
或
2
: ,2 0 x
p x R p ,2 0 x
xR ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR n a *
3 3 1 log 1 log ( ) nn a a n N 2 4 6 9 aaa 1 5 7 9
3
log ( ) a a a 1
5
5 1
5
7. 拋物線
2
8 yx
的焦點為F,O為坐標原點,若拋物線上一點
P
滿足
: 3 : 2 PF PO
則
POF △
的面積為（ ）
A．
22
B．
23
C．
42
D．
43
8. 定義在R上的函數 滿足 ，當 [0， 2]時， ．
在 上的最小值為-1，則
n
A．5 B．4 C．3 D．2
二、 填空題（共30分，每小題 5分）
9. 如果執行下面的框圖，輸入
5 N
，則輸出的數等于_______
10. 6 名教師帶隊去植樹，每隊有兩名帶隊教師，則甲、乙兩名教師必須分在同一隊的概
率是_______
11. 若變量
xy ，
滿足
2 1 0
20
1
xy
xy
x
≥
，則點
2 P x y x y ，
表示區域的面積為 _______
-2
2
1
o
y
x
B
A
() fx ( 2) 2 ( ) f x f x x ( ) (3 1)(3 9)
xx
fx () fx [ 2 , 2 2] nn () nN
C
B
O
D M
A
12. 如圖,已知四邊形
ABCD
內接于
o
，且
AB
是的
o
直徑，過點
D
的
o
的切線與
BA
的延長線交于點
M
，若
6 MD
，
12 MB
,
AB
的長________；若
AM AD
，
DCB ∠
_______
13. 函數
() fx
的定義域為
D
,若滿足：①
() fx
在
D
內是單調函數,②存在
, a b D
,使
() fx
在
, ab
上 的 值 域 為
, ba
, 那么
() y f x
叫 做 對 稱 函 數 , 現有
k x x f 2 ) (
是對稱函數, 那么
k
的取值范圍是_____________．
14. 如圖所示：有三根針和套在一根針上的 n 個金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針
上全部移到另一根針上．
（1）每次只能移動一個金屬片；
（2）在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的
金屬片上面．將n個金屬片從 1號針移到3 號針最少需要移
動的次數記為 ；
則（Ⅰ） ________(Ⅱ) ________
【答案】7（3分）
（2分）
三、 解答題（共80分）
15. （本題共13分）
已知復數
12 sin , (sin 3 cos ) z x i z x x i
(
,, x R i
為虛數單位)
（1）若
12 2z z i
，且
(0, ) x
，求
x
與
的值；
（2）設復數
12 , zz
在復平面上對應的向量分別為
12 , OZ OZ
，若
12 OZ OZ
，且
() fx
，求
() fx
的最小正周期和單調遞減區間．
() fn (3) f () fn (2)2 1 n
第 14 題圖
F
E
D C
B A
P
16. （本題共14 分）
如圖，在四棱錐
P ABCD
中，
PA AD ⊥
，
AB CD ∥
，
CD AD ⊥
，
22 AD CD AB
，
EF ，
分別為
PC CD ，
的中點，
DE EC
（1）求證：平面
ABE⊥
面積
BEF
（2）設
PA a
，若平面
EBD
與平面
ABCD
所成銳二面角
43
，
，求
a
的取值范圍
17. （本題共13分）
PM2．5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2．5微米的顆粒物，也
稱為可入肺顆粒物．根據現行國家標準GB3095-2012, PM2．5日均值在35 微克/立方
米以下空氣質量為一級；在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之間空氣質量為二級；在
75 微克/立方米以上空氣質量為超標．
從自然保護區2012年全年全天的PM2． 5監測數據中隨機抽取12天的數據作為樣本，
檢測值如莖葉圖所示：
PM2．5日均值
（微克/立方米）
25 35 ，
35 45 ，
45 55 ，
55 65 ，
65 75 ，
75 85 ，
頻數 3 1 1 1 1 3
（1）從這 10 天的 PM2．5 日均值檢測數據中，隨機抽出 3 天，求恰有一天空氣質量達
到一級的概率；
（2）從這 10 天的數據中任取 3 天數據；記
表示抽到 PM2．5 檢測數據超標的天數，
求
的分布列；
（3）以這10天的PM2．5日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按 366 天計算）
中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級（精確到整數）
18. （本題共13 分）
已知函數
2
( )= ln f x ax b x
在點
(1 (1)) f ，
處的切線方程為
31 yx
．
（1）若
() fx
在其定義域內的一個子區間
11 kk ，
內不是單調函數，求實數
k
的取值
范圍．
（2）若對任意
0 x ，
，均存在
13 t ，
，使得
32 1 1 1
ln 2 ( )
3 2 6
c
t t ct f x
,求
c
的取值范圍．
19. （本題14分）
設拋物線
C
：
2
2 ( 0) y px p
的焦點為
F
，經過點
F
的動直線交拋物線與
11 ( , ) A x y
，
22 ( , ) B x y
兩點，且
12 4 yy
；
（1）求拋物線的方程；
（2）若
2( ) OE OA OB
（
O
為坐標原點），且點
E
在拋物線
C
上，求直線
l
的斜率；
（3）若點
M
是拋物線
C
的準線上的一點，直線
,, MF MA MB
的斜率分別為
0 1 2 ,, k k k
，
求證：當
0 k
為定值時，
12 kk
也為定值．
21. （本題13分）
若正整數
2 mn ， ， ≥
對于任一個
n
元整數集
12 A= n a a a ， ， ，
，取每一對不同的數
ji
aa
，由這
2
n C
個差按從小到大的順序排成一個數列，稱為集合
A
的“衍生數列”，記
為
A
．衍生數列
A
中能被
m
整除的數的個數記為
Am
（1）集合
{1 3 7 11 23} A ，，， ，
，當
2 m
時，求
2 A
（2）設
m
為正整數，若整數
a
與
b
之差
ab
為
m
的倍數，則稱
a
與
b
對模
m
同余．且對
于給定的正整數
2 m≥
，若整數
a
被
m
除得的余數為
i
，
{0 1 1} im ，， ，
，則稱
a
屬于模
m
的剩余類
i
K
．證明：集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生數列屬于
1 m k
．
（3）證明：對于一個整數
2 m≥
，
n
元整數集
12 n A a a a ，
及集合
{1 2 3 } Bn ，，
所
對應的“衍生數列”滿足不等式
A m B m ≥
答案及其評分標準
2013年畢業班解決方案高考預測卷
第一部分(選擇題共40分)
題號 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A C A C B
第二部分 填空題 （共 30分）
9．
5
6
10．
1
5
11． 1 12．
9 AB
；
=120 DCB ∠
13．
9
2,
4
k
14．（1）7（3分） （2）
2
21
第二部分 解答題 （共 80分）
15． （1）∵
12 2z z i
，∴
2sin 2 1 (sin 3cos ) x i x x i
∴
2sin 1
2 sin 3 cos
x
xx
，
∵
(0, ) x
，∴
6
x
或
5
6
∴
1
或
1
2
····················· 4 分
（2）根據題意可知：
12 (sin , ), (sin 3cos , 1), OZ x OZ x x
∵
12 OZ OZ
，∴
12 0 OZ OZ
····················· 6 分
∴
2
sin 3sin cos 0 x x x
∴
2
sin 3sin cos x x x
，
∴
11
(1 cos2 3sin 2 ) sin(2 )
2 6 2
x x x
············ 8 分
∴最小正周期：
2
2
T
··········· 10分
∵
sin x
在
3
[ 2 , 2 ],
22
k k k Z
上單調減
∴根據復合函數的單調性：
3
2 [ 2 , 2 ],
6 2 2
x k k k Z
∴
5
[ , ],
36
x k k k Z
∴
() fx
在
5
[ , ],
36
k k k Z
上單調減．········· 13分
．(Ⅰ) ， 分別為 的中點，
為矩形， ················· 2 分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ····················· 4 分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , ··················6 分
法一：建系 為 軸， 為 軸， 為 軸,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ·········· 10 分
，可得 ． ·············14分
二：連 交 于點 ,四邊形 為平行四邊形，所以 為 的中點，連 ,
則 , 面 , ,
作 于 點，所以 面 ,
連 ,則 , 即為所求 ············· 10 分
在 中， ,
解得 ． ·············14 分
． （1）記“從這10天的PM2．5日均值檢測數據中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質
量達到一級” 為事件A，則
12
37
3
10
21
(A)=
40
CC P
C
（2）依據條件，
服從超幾何分布，其中
10 3 3 N M n ， ，
，
的可能取值為
0 1 2 3 ，，，
，
3
37
3
10
()
kk
CC Pk
C
, //CD AB , AD CD 2 2 AB CD ADF CD ABFD BF AB EF DC EC DE , EF AB CD AB , // AE E EF BF , BEF AE ABE ABE BEFEF DC EC DE , EF PD// PD AB CD AB , // PD AB AB PAD PA AB AB x AD y AP z ) 0 , 2 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 ( D B ) , 0 , 0 ( a P ) 0 , 2 , 2 ( C )
2
, 1 , 1 (
a
E BCD 1 (0,0,1) n EBD) 2 , , 2 ( 2 a a n ]
2
2
,
2
1
[
4 5
2
cos
2
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a AC BF K ABCF K AC EK PA EK // EK ABCD EK BD BD KH H BD EKH EH EH BD EHK EHK Rt 5
1
5
2
2
1
HK ] 3 , 1 [
2
5
5
1
2 tan
a
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a
0 1 2 3
P
7
24
21
40
7
40
1
120
（3）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為
7
10
P
設一年中空氣質量達到一級或二級的平均天數為
，
~ (366 0.7) B ，
∴
366 0.7 256 E
18．（1）
'( ) 2
b
f x ax
x
由
'(1) 3
(1) 2
f
f
，得
2
1
a
b
2
( )=2 ln f x x x
，
2
1 4 1
'( ) 4
x
f x x
xx
，令
'( ) 0 fx
得
1
2
x
所以
10
1
1
2
1
1
2
k
k
k
≥
，解得
3
1
2
k
（2）設
22 1 1 1
( ) ln 2
3 2 6
c
g t t t ct
，根據題意可知
min min ( ) ( ) g t f x
由（1）知
min
11
( ) ( ) ln 2
22
f x f
2
'( ) ( 1) ( 1)( ) g t t c t c t t c
當
1 c
時，
'( ) 0 gt ≥
，
() gt
在
13 t ，
上單調遞增，
min ( ) (1) ln 2
2
c
g t g
滿足
min min ( ) ( ) g t f x
當
13 c
時，
() gt
在
1 tc ，
時單調遞減，在
3 tc，
時單調遞增，
32
min
1 1 1
( ) ( ) ln 2
6 2 6
g t g c c c
由
32 1 1 1 1
ln 2 ln 2
6 2 6 2
cc
得
32
3 2 0 cc ≥
，
-1 ( 2 2) 0 c c c （ ） ≥
．此時
1+ 3 3 c
當
3 c≥
時
() gt
在
13 ，
上單調遞減
min
3 14
( ) (3) ln 2
23
c
g t g
3 14 3 3 14 1
(3) ln 2 ln 2 ln 2
2 3 2 3 2
c
g
綜上
c
的取值范圍是
1 1 3 ， ，
．
19． （1）根據題意可知：
( ,0)
2
p
F
，設直線
l
的方程為：
2
p
x ky
，則：
聯立方程：
2
2
2
p
x ky
y px
，消去
x
可得：
22
20 y pky p
（*），
根據韋達定理可得：
2
12 4 y y p
，∴
2 p
，∴
C
：
2
4 yx
（2）設
00 ( , ) E x y
，則：
0 1 2
0 1 2
2( )
2( )
x x x
y y y
，由（*）式可得：
12 2 y y pk
∴
0 8 yk
，
又
11
22
2
2
p
x ky
p
x ky
，∴
22
1 2 1 2 ( ) 2 4 2 x x k y y p pk p k
∴
2
0 84 xk
∵
2
00 4 yx
，∴
22
64 4(8 4) kk
，∴
2
21 k
，∴
2
2
k
∴直線
l
的斜率
1
=2 l
k
k
，
（3）可以驗證該定值為
0 2k
，證明如下：
設
( 1, ) M My
，則：
0
2
M y
k
，
1
1
1 1
M yy
k
x
，
2
2
2 1
M yy
k
x
∵
11
22
1
1
x ky
x ky
，∴
11
22
12
12
x ky
x ky
∴
1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 1 2 2
M M M M y y y y y y y y
kk
x x ky ky
1 2 2 1
12
( )( 2) ( )( 2)
( 2)( 2)
MM y y ky y y ky
ky ky
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2( ) ( ( ) 4)
2 ( ) 4
M ky y y y y k y y
k y y k y y
2
22
8 8 (4 4)
4 8 4
M
M
k k y k
y
kk
∴
1 2 0 2 k k k
為定值
19．本題共14 分
（1）略
（2）證明：集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生數列
*
{ - 1 , } ji
A m m i j n i j Z 且 ，
- = 1 j i i z
m m m m
且
j mz
，
*
m z Z ，
又
2 m≥
則
1 1 * i z z
m m m Z
∴
1 z
m
與
1 iz
mm
有相同的余數，
又
1
1 1 = 1 z z z
m m m m m m
，且
1
1* z
mZ
即
1
1 1 1 zz
m m m m
且
1 m
與
m
互質
所以集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生數列屬于
1 m k
（3）證明：對于給定的正整數
2 m≥
，若整數
x
被
m
除得的余數為
i
，
{0 1 1} im ，， ，
，則稱
x
屬于模
m
的剩余類
i
K
．
設
A
的元素中屬于
i
K
的數有
0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
個，而集合
{1 2 3 } Bn ，，
的
元素中屬于
i
K
的數有
' 0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
個，則
11
0 1 0
'=
mm
ii
i
n n n
（*1）
易知，對已任意
'
i
i j n ，，
與
'
j
n
至多相差1，且
xy
是
m
的倍數當且僅當兩數
xy ，
屬于模
m
同一個剩余類．對于剩余類
i
K
中的任一對數
ij
aa ，
，有
ji
m a a
，故屬
于
i
K
中的
i
n
個數，共作成
2
C i
n
個
m
的倍數，考慮所有的
i
，則
1
2
1
i
m
n
i
A m C
，
類似得
1
2
'
i
m
n B m C
為了證明本題，只需證
11
22
'
11
ii
mm
nn
ii
CC
≥
，化簡后，即只要證
11
22
11
'
mm
ii
ii
nn
≥
（*2）
據（*1）易知，若對任意
1 ij
i j n n ，， ≤
，則
0 1 1 m n n n ， ， ，
與
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
就是同一組數（至多只有順序不同），這時（*2）將取得等號．
若對任意
2 ij
i j n n ，， ≥
，這時將
ij
nn ，
兩數調整為
ij
nn ，
，其中
=1 ii
nn
，
=1 jj
nn
，其他元素不變，則
+ = + i j i j
n n n n ，
由于
22 22
+ = + =2 1 0 i j i j i j
n n n n n n ，
，
故調整后（*2）式左邊的和值將減少，因此（*2）式取得最小值當且僅當
0 1 1 m n n n ， ， ，
與
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
為同一組數（至多只有順序不同），即（*2）
成立，因此結論得證．
