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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1．若集合 ， ，則 ＝ ▲ ．
2．設i是虛數單位，復數 為純虛數，則實數 的值為 ▲ ．
3．已知樣本 的平均數是 ，且 ，則此樣本的標準差是 ▲ ．
4．在集合 中任取一個元素，
所取元素恰好滿足方程 的概率是 ▲ ．
5．已知雙曲線與橢圓 有相同的焦點，且它們的
離心率互為倒數，則該雙曲線的方程為 ▲ ．
6．已知某算法的偽代碼如右，根據偽代碼，若函數
7． 在 上有且只有兩個零點，則實數
的取值范圍是 ▲ ．
7．已知 ，則 ▲ ．
8．有一個正四面體的棱長為 ，現用一張圓形的包裝紙將其完全包住（不能裁剪紙，但可以折疊），那么包裝紙的最小半徑為 ▲ ．
9．過點 的直線將圓 分成兩段圓弧，要使這兩段弧長之差最大，則該直線的方程為 ▲ ．
10．已知數列 的前 項和 ，且 的最大值為8，則
▲ ．
11．已知中心為 的正方形 的邊長為2，點 分別為線段 上的兩個不同點，且 ，則 的取值范圍是 ▲ ．
12．在數列 中，已知 ， ，當 時， 是 的個位數，
則 ▲ ．
13．已知 ，若實數 滿足 ，則 的最小值是 ▲ ．
14．設曲線 在點 處的切線為 ，曲線 在點 處的切線為 ．若存在 ，使得 ，則實數 的取值范圍是 ▲ ．
二、解答題: 本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定的區域內作答，解答時應寫出文字說明、求證過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
設 的內角 所對的邊分別為 ．已知 ， ， ．
⑴求邊 的長；
⑵求 的值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐 中， 平面 ，四邊形 是平行四邊形，且 ， ， ， 分別是 ， 的中點．
（1）求證： 平面 ；
（2）若 ，垂足為 ，求證： ．
17．（本小題滿分14分）
某人 年底花 萬元買了一套住房，其中首付 萬元， 萬元采用商業貸款．貸款的月利率為 ‰，按復利計算，每月等額還貸一次， 年還清，并從貸款后的次月開始還貸．
⑴這個人每月應還貸多少元？
⑵為了抑制高房價，國家出臺“國五條”，要求賣房時按照差額的20%繳稅．如果這個人現在將住房 萬元賣出，并且差額稅由賣房人承擔，問：賣房人將獲利約多少元？ （參考數據： ）
18．（本小題滿分16分）
已知橢圓 ： 的離心率為 ，右焦點為 ，且橢圓 上的點到點 距離的最小值為2．
⑴求橢圓 的方程；
⑵設橢圓 的左、右頂點分別為 ，過點 的直線 與橢圓 及直線 分別相交于點 ．
（ⅰ）當過 三點的圓半徑最小時，求這個圓的方程；
（ⅱ）若 ，求 的面積．
19．（本小題滿分16分）
已知數列 ，其前 項和為 ．
⑴若對任意的 ， 組成公差為 的等差數列，且 ， ，求 的值；
⑵若數列 是公比為 的等比數列， 為常數，求證：數列 為等比數列的充要條件為 ．
20．（本小題滿分16分）
已知函數 ， ， ．
⑴求函數 的單調區間；
⑵記函數 ，當 時， 在 上有且只有一個極值點，求實 數 的取值范圍；
⑶記函數 ，證明：存在一條過原點的直線 與 的圖象有兩個切點．
徐州市2013年高考考前信息卷
21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內作答.若多做，則按作答的前兩題評分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A．[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）
如圖， 的半徑 垂直于直徑 ， 為 上一點， 的延長線交 于點 ， 過 點的切線交 的延長線于點 ．
（1）求證： ；
（2）若 的半徑為 ， ，
求 長．
B．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
設 ， ，試求曲線 在矩陣 變換下的曲線方程．
C．[選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）
在極坐標系中，已知點 為圓 上任一點．求點 到直線 的距離的最小值與最大值．
D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）
已知 為正數，且滿足 ，求證： ．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22．過直線 上的動點 作拋物線 的兩切線 ， 為切點．
（1）若切線 的斜率分別為 ，求證： 為定值；
（2）求證：直線 過定點．
23．已知 ．
⑴求 及 ；
⑵試比較 與 的大小，并說明理由．
徐州市2013年高考考前信息卷
一、填空題：1． 2．3 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13．9 14．
二、解答題:
15．⑴由 ，得 ．………………………………………………2分
因為 ， ，所以 ，…………………………………………………4分
所以 ，
所以 ．…………………………………………………………………………… 7分
⑵因為 ， ，
所以 ，…………………………………9分
所以 ，……………………………………………………11分
因為 ，所以 ，故 為銳角，所以 ，
所以 . …………14分
16．（1）取 的中點 ，連結 ， ，
因為 是 的中點，所以 ， ，
又因為 是 中點，所以 ，
因為四邊形 是平行四邊形；
所以 ，所以 ,
所以四邊形 是平行四邊形，…………4分
所以 ．因為 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ．……………………6分
（2）因為 平面 , 平面 ,
所以 ，又因為 , ,
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ． ……………………………9分
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，……………………12分
又 ， 是 中點，所以 ，……………………………………13分
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．……………………………………………………14分
17．⑴設每月應還貸 元，共付款 次，則有
，…………4分
所以 （元）．………………………………6分
答：每月應還貸 元．………………………………………………………………7分
⑵賣房人共付給銀行 元，
利息 （元），………………………………………………10分
繳納差額稅 （元），………………………………12分
（元）．
答：賣房人將獲利約 元．………………………………………………………14分
18．⑴由已知， ，且 ，所以 ， ，所以 ，
所以橢圓 的方程為 ．………………………………………………………3分
⑵（ⅰ）由⑴， ， ，設 ．
設圓的方程為 ，將點 的坐標代入，得
解得 ……………………………………………6分
所以圓的方程為 ，
即 ，
因為 ，當且僅當 時，圓的半徑最小，
故所求圓的方程為 ．………………………………………9分
（ⅱ）由對稱性不妨設直線 的方程為 ．
由 得 ，……………………………………………11分
所以 ， ，
所以 ，
化簡，得 ，…………………………………………………………14分
解得 ，或 ，即 ，或 ，
此時總有 ，所以 的面積為 ．…………………………16分
19．⑴因為 成公差為 的等差數列，
所以 ，……………………………………………2分
所以 是公差為 的等差數列，且
， ……………………………4分
又因為 ，所以
，
所以 ，所以 ．……………………………………………6分
⑵因為 ，所以 ， ①
所以 ， ②
②－①，得 ， ③ ……………………………8分
（ⅰ）充分性：因為 ，所以 ，代入③式，得
，因為 ，又 ，
所以 ， ，所以 為等比數列，……………………………………12分
（ⅱ）必要性：設 的公比為 ，則由③得 ，
整理得 ，……………………………………………14分
此式為關于n的恒等式，若 ，則左邊 ，右邊 ，矛盾；
，當且僅當 時成立，所以 ．
由（ⅰ）、（ⅱ）可知，數列 為等比數列的充要條件為 ．…………………16分
20．（1）因為 ，
①若 ，則 ， 在 上為增函數，…………………………2分
②若 ，令 ，得 ，
當 時， ；當 時， ．
所以 為單調減區間， 為單調增區間．
綜上可得，當 時， 為單調增區間，
當 時， 為單調減區間， 為單調增區間． ……………4分
（2） 時， ，
， ……………………………………………………5分
在 上有且只有一個極值點，即 在 上有且只有一個根且不為重根，
由 得 ， ………………………………………………………6分
（i） ， ，滿足題意；…………………………………………………………7分
（ii） 時， ，即 ；………………………………………8分
（iii） 時， ，得 ，故 ；
綜上得： 在 上有且只有一個極值點時， ． ……………………………9分
注：本題也可分離變量求得．
（3）證明：由（1）可知：
（i）若 ，則 ， 在 上為單調增函數，
所以直線 與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意．……………………10分
（ⅱ）若 ， 在 處取得極值 ．
若 ， 時，由圖象知不可能有兩個切點．…………………………11分
故 ，設 圖象與 軸的兩個交點的橫坐標為 （不妨設 ），
則直線 與 的圖象有兩個切點即為直線 與 和 的切點．
， ，
設切點分別為 ，則 ，且
， ， ，
即 ， ①
， ②
，③
①-②得： ，
由③中的 代入上式可得： ，
即 ， ……………………………………………………………14分
令 ，則 ，令 ，因為 ， ，
故存在 ，使得 ，
即存在一條過原點的直線 與 的圖象有兩個切點．……………………16分
徐州市2013年高考考前信息卷
21．
A．（1）連結ON．因為PN切⊙O于N，所以 ，
所以 ．
因為 ，所以 ．
因為 于O，所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 ．……………………5分
（2） ， ， ．
因為 ，
所以 ．…………………………………………………………………………10分
B． ，…………………………………………………4分
設 是曲線 上的任意一點，在矩陣 變換下對應的點為 ．
則 ，所以 即 ……………………………………8分
代入 ，得 ，即 ．
即曲線 在矩陣 變換下的曲線方程為 ．……………………10分
C．圓 的普通方程為 ，……………………… 2分
直線 的普通方程為 ，…………………………… 4分
設點 ，
則點 到直線 的距離 ，
…………………………………………………………………………………………8分
所以 ； ．………………………………………………10分
D．由柯西不等式，得
．…………………………………………………………10分
22．（1）設過 作拋物線 的切線的斜率為 ，則切線的方程為 ，
與方程 聯立，消去 ，得 .
因為直線與拋物線相切，所以 ，
即 . 由題意知，此方程兩根為 ，
所以 (定值). ……………………………………………………………………4分
（2）設 ，由 ，得 .
所以在 點處的切線斜率為： ，因此，切線方程為： .
由 ，化簡可得， .
同理，得在點 處的切線方程為 .
因為兩切線的交點為 ，故 , .
所以 兩點在直線 上，即直線 的方程為： .
當 時, ，所以直線 經過定點 .……………………………………10分
23．⑴令 ，則 ，令 ，則 ，所以 ．……2分
⑵要比較 與 的大小，只要比較 與 的大小．
當 時， ；當 或 時， ，
當 或 時， ，
猜想：當 時， ．下面用
數學歸納法證明：…………………4分
①由上述過程可知，當 時，結論成立．…………………………………………5分
②假設當 時結論成立，即 ，
兩邊同乘以 ，得 ，
而
，
所以 ，
即 時結論也成立．
由①②可知，當 時， 成立．……………………………………9分
綜上所述，當 時， ；當 或 時， ；
當 時， ．………………………………………………………10分
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