揚州市2013屆高三下學期5月考前適應性考試文科
數學試題及其答案
全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時間30分鐘）．
注意事項：
1． 答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規定的地方．
2．第一部分試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效．
3．選修物理的考生在第一部分考試結束后，將答卷交回，再參加加試部分的考試．
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）
1． 已知集合 ，則 ▲ ．
2． 若復數 是實數，則 ▲ ．
3． 已知某一組數據 ，若這組數據的平均數為10，則其方差為 ▲ ．
4． 若以連續擲兩次骰子得到的點數 分別作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線 上的概率為 ▲ ．
5． 運行如圖語句，則輸出的結果T＝ ▲ ．
6． 若拋物線 的焦點與雙曲線 的右焦點重合，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
7． 已知一個圓錐的底面圓的半徑為1，體積為 ，則該圓錐的側面積為 ▲ ．
8． 將函數 的圖象向左平移 個單位得到函數 的圖象，若 在 上為增函數，則 最大值為 ▲ ．
9． 已知O是坐標原點，點 ，若點 為平面區域 上的一個動點，則 的取值范圍是 ▲ ．
10． 數列 中， ， （ 是常數， ），且 成公比不為 的等比數列，則 的通項公式是 ▲ ．
11． 若對任意 ，不等式 恒成立，則實數 的范圍 ▲ ．
12． 函數 的圖象上關于原點 對稱的點有 ▲ ．對.
13． 在平面直角坐標系 中，已知點 是橢圓 上的一個動點，點P在線段 的延長線上，且 ，則點P橫坐標的最大值為 ▲ ．
14． 從 軸上一點A分別向函數 與函數 引不是水平方向的切線 和 ，兩切線 、 分別與 軸相交于點B和點C，O為坐標原點，記△OAB的面積為 ，△OAC的面積為 ，則 + 的最小值為 ▲ ．
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分14分）
已知函數 .
（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， 分別是 A、 B、 C的對邊，若 ， ， 的面積為 ，求 的值.
16．（本小題滿分14分）
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上．
（1）求證：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
（2）若 ，AB=BC=2，P為AC中點，求三棱錐 的體積。
17．（本小題滿分15分）
某地區注重生態環境建設，每年用于改造生態環境總費用為 億元，其中用于風景區改造為 億元。該市決定建立生態環境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區改造費用隨每年改造生態環境總費用增加而增加；②每年改造生態環境總費用至少 億元，至多 億元；③每年用于風景區改造費用不得低于每年改造生態環境總費用的15%，但不得每年改造生態環境總費用的22%。
（1）若 ， ，請你分析能否采用函數模型y＝ 作為生態環境改造投資方案；
（2）若 、 取正整數，并用函數模型y＝ 作為生態環境改造投資方案，請你求出 、 的取值．
18．（本小題滿分15分）
橢圓 的右焦點為 ，右準線為 ，離心率為 ，點 在橢圓上，以 為圓心， 為半徑的圓與 的兩個公共點是 ．
（1）若 是邊長為 的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若 三點在同一條直線 上，且原點到直線 的距離為 ，求橢圓方程．
19．（本小題滿分16分）
已知函數 ， ，（ ）．
（1）求函數 的極值；
（2）已知 ，函數 ， ，判斷并證明 的單調性；
（3）設 ，試比較 與 ，并加以證明．
20．（本小題滿分16分）
設滿足以下兩個條件的有窮數列 為 階“期待數列”：
① ；② ．
（1）若等比數列 為 ( )階“期待數列”，求公比 ；
（2）若一個等差數列 既是 ( )階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記 階“期待數列” 的前 項和為 ：
（ⅰ）求證： ；
（ⅱ）若存在 使 ，試問數列 能否為 階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．
參考答案
2013．05
1． 2． 3． 2 4．
5．625 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12．3
13．
提示：設 ，由 ，得 ，
= = = ，
研究點P橫坐標的最大值，僅考慮 ，
（當且僅當 時取“=”）．
14．8
提示： ，設兩切點分別為 ， ，（ ， ），
： ，即 ，令 ，得 ；
令 ，得 ．
： ，即 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
依題意， ，得 ，
+ = = = ，
= ，可得當 時， 有最小值8．
15． 解：（1）
4分
6分
（2）由 ， ，
又 的內角， ，
， 8分
， ， ， 11分
， 14分
16．證：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，
∴A A1⊥BC，
∵AD⊥平面A1BC，
∴AD⊥BC，
∵A A1 ，AD為平面ABB1A1內兩相交直線，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又∵ 平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2) 由等積變換得 ，
在直角三角形 中，由射影定理( )知 ，
∵ ，
∴三棱錐的高為 10分
又∵底面積 12分
∴ = 14分
法二：連接 ，取 中點 ，連接 ，∵P為AC中點，
, , 9分
由（1）AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，
∴ 為三棱錐P- A1BC的高， 11分
由（1）BC⊥平面ABB1A1 ， 12分
， 14分
17．解：（1）∵ ，
∴函數y＝ 是增函數，滿足條件①。 3分
設 ，
則 ，
令 ，得 。
當 時， ， 在 上是減函數；
當 時， ， 在 上是增函數，
又 ， ，即 ， 在 上是增函數，
∴當 時， 有最小值0.16=16%>15%，
當 時， 有最大值0.1665=16.65%<22%,
∴能采用函數模型y＝ 作為生態環境改造投資方案。 9分
（2）由(1)知 ，
依題意，當 ， 、 時， 恒成立；
下面求 的正整數解。
令 ， 12分
由(1)知 ， 在 上是減函數，在 上是增函數，
又由（1）知，在 時， ，且 =16%∈[15%，22%]，
合條件，經枚舉 ， ∈[15%，22%]，
而 [15%，22%]，可得 或 或 ，
由 單調性知 或 或 均合題意。 15分
18．解：設橢圓的半長軸是 ，半短軸是 ，半焦距離是 ，
由橢圓 的離心率為 ，可得橢圓 方程是 ， 2分
（只要是一個字母，其它形式同樣得分，）
焦點 ，準線 ，設點 ，
（1） 是邊長為 的等邊三角形，
則圓半徑為 ，且 到直線 的距離是 ，
又 到直線 的距離是 ，
所以， ， ，
所以
所以，圓的方程是 。 6分
（2）因為 三點共線，且 是圓心，所以 是線段 中點，
由 點橫坐標是 得， ， 8分
再由 得： ， ，
直線 ： ， 12分
原點 到直線 的距離 ，
依題意 ， ，所以 ，
所以橢圓的方程是 ． 15分
19．解：（1） ，令 ，得 ．
當 時， ， 是減函數；
當 時， ， 是增函數．
∴當 時， 有極小值 ， 無極大值． 4分
（2）
= = ，
由（1）知 在 上是增函數，
當 時， ，
即 ，
∴ ，即 在 上是增函數． 10分
（3） ，由（2）知， 在 上是增函數，
則 ，
令 得， ． 16分
20．解：（1）若 ，則由① =0，得 ，
由②得 或 ．
若 ，由①得， ，得 ，不可能．
綜上所述， ．
（2）設等差數列 的公差為 ， >0．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ >0，由 得 ， ，
由題中的①、②得 ，
，
兩式相減得， ， ∴ ，
又 ，得 ，
∴ ．
（3）記 ， ，…， 中非負項和為 ，負項和為 ，
則 ， ，得 ， ，
（ⅰ） ，即 ．
（ⅱ）若存在 使 ，由前面的證明過程知：
， ，…， ， ， ，…， ，
且 … ．
記數列 的前 項和為 ，
則由（ⅰ）知， ，
∴ = ，而 ，
∴ ，從而 ， ，
又 … ，
則 ，
∴ ，
與 不能同時成立，
所以，對于有窮數列 ，若存在 使 ，則數列 和數列 不能為 階“期待數列”．
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