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數學查漏補缺試題及其答案詳解
1.函數 圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為
A. B. C. D.
2.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A． B． C． D．
3.若向量 滿足 ，且 ，則向量 的夾角為
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知函數 ，則 ， ， 的大小關系為A． B．
C． D．
5.某空間幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為_____,
體積為_____________.
6.設 、 是不同的直線， 、 、 是不同的平面，有以下四個命題：
① 若 則 ②若 ， ，則
③ 若 ，則 ④若 ，則
其中所有真命題的序號是_____
7.設不等式組 表示的平面區域為D，若直線 上存在區域D上的點，則 的取值范圍是_____.
8.已知不等式組 所表示的平面區域為 ，則 的面積是_____；
設點 ，當 最小時，點 坐標為_____．
9.設等比數列 的公比為 ，前 項和為 ．則“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
10.設函數 在區間 上有兩個零點，則 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知橢圓 的離心率為 ．⊙ 過橢圓 的一個頂點和一個焦點，圓心 在此橢圓上，則滿足條件的點 的個數是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.如果直線 總不經過點 ，其中 ，那么 的取值范圍是_____.
13.如圖所示，正方體 的棱長為1， E、F 分別是棱 、 的中點，過直線E、F的平面分別與棱 、 交于M、N，
設BM= x， ，給出以下四個命題：
①平面MENF 平面 ；
②四邊形MENF周長 ， 是單調函數；
③四邊形MENF面積 ， 是單調函數；
④四棱錐 的體積 為常函數；
以上命題中正確命題的個數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14.直線 與拋物線 相切于點 . 若 的橫坐標為整數，那么 的最小值為
15.已知數列 的前 項和 若 是 中的最大值，則實數 的取值范圍是_____.
解答題部分：
1. 已知函數
（I）求 的最小正周期和值域；
（II）在 中，角 所對的邊分別是 ，若 且 ，試判斷 的形狀.
2.如圖，在直角坐標系 中，點 是單位圓上的動點，過點 作 軸的垂線與射線 交于點 ，與 軸交于點 ．記 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）求 面積的最大值.
3. 已知函數 ,且
﹙Ⅰ﹚求 的值.
（Ⅱ）求函數 在區間 上的最大和最小值.
4. 已知數列 的通項公式為 ，其前 項和為 .
(I) 若 ，求 的值；
(Ⅱ) 若 且 ，求 的取值范圍.
5.數列 的各項都是正數，前 項和為 ,且對任意 ，都有 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求證： ；
（Ⅲ）求數列 的通項公式.
6. 已知正三角形 與平行四邊形 所在的平面互相垂直.
又 ，且 ，點 分別為 的中點. 求證：
7. 如圖，四棱錐 中， ⊥底面 ， ⊥ ．底面 為梯形， ， . ，點 在棱 上，且 ．
（Ⅰ）求證：平面 ⊥平面 ；
（Ⅱ）求證： ∥平面
8. 設 、 是函數 的兩個極值點.
（I）若 ，求函數 的解析式；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值.
9. 已知函數 .
（Ⅰ）若 ，求函數 的極值；
（Ⅱ）求函數 的單調區間.
10. 已知橢圓 ： 的左、右焦點分別為 ， ，且經過點 ，又 是橢圓 上的兩點.
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若直線 過 ，且 ，求 .
11. 已知橢圓 的離心率為 ，短軸長為 ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）已知點 ，過原點 的直線與橢圓 交于 兩點，直線 交橢圓 于點 ，求△ 面積的最大值．
文 科 2013年5月
題號 1 2 3 4 5
答案 B C C A ，
題號 6 7 8 9 10
答案 ①③
C C
題號 11 12 13 14 15
答案 C
B 1
解答題部分：
１. 解：﹙Ⅰ﹚
所以
﹙Ⅱ﹚由 ，有 ，
所以
因為 ，所以 ,即 .
由余弦定理 及 ，所以 .
所以 所以 .
所以 為等邊三角形.
2. 解：依題意 ，所以 ．
因為 ，且 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由三角函數定義，得 ，從而
所以
因為 ，所以當 時，等號成立,
所以 面積的最大值為 .
3.解：（Ｉ）
（Ⅱ）因為
設 因為 所以
所以有
由二次函數的性質知道， 的對稱軸為
所以當 ，即 ， 時，函數取得最小值
當 ，即 ， 時，函數取得最大小值
4.解：（I）因為 所以
所以 是公差為 的等差數列，
又 ，所以 ，解得 ，所以
（Ⅱ）因為 且
所以 ，得到
5.證明：（I）在已知式中，當 時，
因為 ，所以 ,
所以 ，解得
(Ⅱ) 當 時， ①
②
當 時， ①
②
①－②得，
因為 所以 ，
即 因為 適合上式
所以 (n∈N+)
（Ⅲ）由（I）知 ③
當 時， ④
③－④得 －
因為 ,所以
所以數列 是等差數列，首項為1，公差為1，可得
6. 證明：因為在正三角形 中， 為 中點，
所以
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以
在 中，
所以可以得到 ，所以 ，
即 ，又
所以 平面 ，所以
7.證明：
（Ⅰ）因為 ⊥底面ABCD，
所以 ．
又 ， ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
（Ⅱ）因為 ⊥底面 ，所以
又 ，且
所以 平面 ，所以 ．
在梯形 中，由 ，得 ，
所以 ．
又 ，故 為等腰直角三角形．
所以 ．
連接 ，交 于點 ，則
在 中， ，
所以
又 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ．
8.解（I）因為 ，所以
依題意有 ，所以 .
解得 ，所以 . .
（Ⅱ）因為 ,
依題意， 是方程 的兩個根，且 ，
所以 .
所以 ，所以 .
因為 ，所以 .
設 ，則 .
由 得 ，由 得 .
即函數 在區間 上是增函數，在區間 上是減函數，
所以當 時， 有極大值為96，所以 在 上的最大值是96，
所以 的最大值為 .
9. 解：（Ⅰ）因為 ，
所以 ， .
令 ，即 .
因為 函數 的定義域為 ，
所以 .
因為 當 時， ；當 時， ，
所以 函數 在 時取得極小值6.
（Ⅱ）由題意可得 .
由于函數 的定義域為 ，
所以 當 時，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ；
當 時，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
當 時，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
當 時， .
所以 當 時，函數 的單調遞增區間是 ， ，
單調遞減區間是 ；
當 時，函數 的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 ；
當 時，函數 的單調遞增區間是 ， ，單調遞減區間是 ；
當 時，函數 的單調遞增區間是
10. 解：（Ⅰ）因為 點 在橢圓 ： 上，
所以 .
所以 .
所以 橢圓 的方程為 .
（Ⅱ）因為 .
設 ，得
， .
因為直線 過 ，且 ，
所以 .
所以 .
所以
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
11. 解：（Ⅰ）橢圓 的方程為 ．
（Ⅱ）設直線 的方程為 ，代入橢圓方程得 ，
由 ，得 ，
所以 ， ．
因為 是 的中點，
所以 ．
由 ，
設 ，
則 ，
當且僅當 時等號成立，此時△ 面積取最大值,最大值為 ．
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