陽光高考提供：2013年海淀區高三理科
數學查漏補缺試題及其答案詳解
1.函數 圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為
A. B. C. D.
2.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A． B． C． D．
3.若向量 滿足 ，且 ，則向量 的夾角為
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知函數 ，則 ， ， 的大小關系為A． B．
C． D．
5.某空間幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為_____,
體積為_____________.
6.設 、 是不同的直線， 、 、 是不同的平面，有以下四個命題：
① 若 則 ②若 ， ，則
③ 若 ，則 ④若 ，則
其中所有真命題的序號是_____
7.設不等式組 表示的平面區域為D，若直線 上存在區域D上的點，則 的取值范圍是_____.
8.已知不等式組 所表示的平面區域為 ，則 的面積是_____；
設點 ，當 最小時，點 坐標為_____．
9. 的展開式中的常數項為
10. 計算 .
11.若直線 的參數方程為 其中 為參數，則直線 的斜率為_______.
12.如圖，已知 是圓 的切線，切點為 , 交圓 于 兩點，
，則
13.如圖所示，正方體 的棱長為1, 分別是棱 ， 的中點，過直線 的平面分別與棱 、 交于 ，
設 ， ，給出以下四個命題：
①平面 平面 ；
②四邊形 周長 ， 是單調函數；
③四邊形MENF面積 ， 是單調函數；
④四棱錐 的體積 為常函數；
以上命題中正確命題的個數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14.直線 與拋物線 相切于點 . 若 的橫坐標為整數，那么 的最小值為 .
15.已知數列 的前 項和 若 是 中的最大值，則實數 的取值范圍是_____.
解答題部分：
1. 已知函數
（I）求 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在 中，角 所對的邊分別是 ，若 且 ，試判斷 的形狀.
2. 如圖，在直角坐標系 中，點 是單位圓上的動點，過點 作 軸的垂線與射線 交于點 ，與 軸交于點 ．記 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）求 面積的最大值.
3. 已知函數 ,且
（Ⅰ）求 的值.
（Ⅱ）求函數 在區間 上的最大和最小值.
4.數列 的各項都是正數，前 項和為 ,且對任意 ，都有 .
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求數列 的通項公式.
5. 已知正三角形 與平行四邊形 所在的平面互相垂直.
又 ，且 ，點 分別為 的中點.
(I) 求證：
(Ⅱ) 求二面角 值.
6. 袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．
（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，記 為摸出兩球中白球的個數，求 的期望和方差.
7. 已知函數 在 處有極值.
（Ⅰ）求函數 的單調區間；
（Ⅱ）若直線 與函數 有交點，求實數 的取值范圍.
8. 已知函數 ，其中 .
（Ⅰ）求 的單調遞減區間；
（Ⅱ）若存在 ， ，使得 ，求 的取值范圍.
9. 設函數 ，其圖象在點 處的切線的斜率分別為 ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）若函數 的遞增區間為 ，求 的取值范圍．
10. 已知橢圓 的離心率為 ，且經過點 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設 為橢圓 上的兩個動點，線段 的垂直平分線交 軸于點 ，求 的取值范圍.
11.如圖，已知 ， 兩點分別在 軸和 軸上運動，并且滿足 ， .
（Ⅰ）求動點 的軌跡方程；
（Ⅱ）若正方形 的三個頂點 在點 的軌跡上，
求正方形 面積的最小值.
12. 動圓過點 且在 軸上截得的線段長為 ，記動圓圓心軌跡為曲線 .
（Ⅰ）求曲線 的方程;
（Ⅱ）已知 是曲線 上的兩點，且 ，過 兩點分別作曲線 的切線，設兩條切線交于點 ，求△ 面積的最大值．
13.已知橢圓 的左右兩個頂點分別為 ，點 是直線 上任意一點，直線 ， 分別與橢圓交于不同于 兩點的點 ，點 .
（Ⅰ）求橢圓的離心率和右焦點 的坐標；
（Ⅱ）（i）證明 三點共線；
（Ⅱ）求 面積的最大值。
理科 2013年5月
題號 1 2 3 4 5
答案 B C C A ，
題號 6 7 8 9 10
答案 ①③
15
題號 11 12 13 14 15
答案 -2
B 1
解答題部分：
１. 解：﹙Ⅰ﹚
所以
﹙Ⅱ﹚由 ，有 ，
所以
因為 ，所以 ,即 .
由余弦定理 及 ，所以 .
所以 所以 .
所以 為等邊三角形.
2. 解：依題意 ，所以 ．
因為 ，且 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由三角函數定義，得 ，從而
所以
因為 ，所以當 時，等號成立
所以 面積的最大值為 .
3.解：（Ｉ）
（ＩＩ）因為
設 因為 所以
所以有
由二次函數的性質知道， 的對稱軸為
所以當 ，即 ， 時，函數取得最小值
當 ，即 ， 時，函數取得最大小值
4. 證明：（I）當 時，
因為 ，所以
當 時， ①
②
①－②得，
因為 所以 ，
即 因為 適合上式
所以
（Ⅱ）由（I）知 ③
當 時， ④
③－④得 －
因為 ,所以
所以數列 是等差數列，首項為1，公差為1，可得
5.（I）因為在正三角形 中， 為 中點，
所以
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以
在 中，
所以 ，所以 ，
即 ，又
所以 平面 ，所以
（Ⅱ）以 為坐標原點， 所在直線為坐標軸建立坐標系，
則 ，
由（I）得平面 的法向量為
設平面 的法向量為
因為
所以 解得 ，取
所以 ，
所以二面角 的值為 .
6. 解：（Ⅰ）記 “摸出一球，放回后再摸出一個球，兩球顏色不同”為事件A，
摸出一球得白球的概率為 ，
摸出一球得黑球的概率為 ，
所以P（A）＝ × ＋ × ＝
答：兩球顏色不同的概率是
（Ⅱ）由題知 可取0，1，2， 依題意得
則 ，
答： 摸出白球個數 的期望和方差分別是 ， .
7. 解：（Ⅰ）因為 ，
所以
由 ，可得
經檢驗 時，函數 在 處取得極值，
，
而函數 的定義域為 ，
當 變化時， ， 的變化情況如下表：
極小值
由表可知， 的單調減區間為 ， 的單調增區間為
（Ⅱ）若 ，則有 ，其中 ，
所以 有大于 的根，
顯然 ，設
則其對稱軸為 ，根據二次函數的性質知道，
只要
解得 或 .
8. （Ⅰ）解：
① 當 時，令 ，解得
的單調遞減區間為 ；單調遞增區間為 ，
當 時，令 ，解得 ，或
② 當 時， 的單調遞減區間為 ，
單調遞增區間為 ，
③ 當 時， 為常值函數，不存在單調區間
④ 當 時， 的單調遞減區間為 ，
單調遞增區間為 ，
（Ⅱ）解：① 當 時，若 ，
若 ， ，不合題意
② 當 時，顯然不合題意
③ 當 時，取 ，則
取 ，則 ，符合題意
④ 當 時，取 ，則
取 ，則 ，符合題意
綜上， 的取值范圍是 ．
9.解：（Ⅰ）證明： ，由題意及導數的幾何意義得
， （1）
， （2）
又 ，可得 ，即 ，故
由（1）得 ，代入 ，再由 ，得
， （3）
將 代入（2）得 ，即方程 有實根．
故其判別式 得 ，或 ， （4）
由（3），（4）得 ；
（Ⅱ）由 的判別式 ，
知方程 有兩個不等實根，設為 ，
又由 知， 為方程（ ）的一個實根，則由根與系數的關系得
，
當 或 時， ，當 時， ，
故函數 的遞增區間為 ，由題設知 ，
因此 ，由（Ⅰ）知 得
的取值范圍為 .
10.解: （Ⅰ）橢圓 的方程為：
（Ⅱ）設 ，則 ， .
依題意有 ，即 ，
整理得 .
將 ， 代入上式，消去 ，
得 .
依題意有 ，所以 .
注意到 ， ，且 兩點不重合，從而 .
所以 .
11. 解：(I)
由已知 則
（Ⅱ）如圖，不妨設正方形在拋物線上的三個頂點中 在 軸的下方（包括 軸），
記 的坐標分別為 ，其中
并設直線 的斜率為
則有 ……①
又因為 在拋物線 上，故有
代入①式得
……②
因為
即
所以
所以 將②代入可得：
即 ，
得
正方形的邊長為
易知 , 所以
所以正方形ABCD面積的最小值為 .
12．解：（Ⅰ）設圓心坐標為 ，那么 ，化簡得
（Ⅱ）解法一：設
設直線PQ的方程為 ，代入曲線C的方程得 ，
所以
因為 ，所以
所以,
過P、Q兩點曲線C的切線方程分別為
兩式相減，得
， ，
代入過P點曲線C的切線方程得,
，
即兩條切線的交點M的坐標為（ ），所以點M到直線PQ的距離為
當 時, ,此時 的面積的取最大值
解法二: 設 ,則過P、Q兩點曲線C的切線方程分別為
兩式相減得 ，
， ，
代入過P點曲線C的切線方程得,
，
即兩條切線的交點M的坐標為( ， )
設PQ中點為C，則C的坐標為( ， )，所以MC平行于y軸，所以
設點M到直線PQ的距離為d，那么 (當且僅當 時等號成立) ．
又因為 ，所以 ，
即 ， ．
所以 (當且僅當 時等號成立) ．
因此 ， ，
所以 的面積的最大值為 ．
13.解:（Ⅰ） ， ，所以， 。
所以，橢圓的離心率 。
右焦點 。
（Ⅱ）（i） ， 。設 ，顯然 。
則 ， 。
由 解得
由 解得
當 時， ， 三點共線。
當 時， ，
，
所以， ，所以， 三點共線。
綜上， 三點共線。
（Ⅱ）因為 三點共線，所以，△PQB的面積
設 ，則
因為 ，且 ，所以， ，且僅當 時， ，
所以， 在 上單調遞減。
所以， ，等號當且僅當 ，即 時取得。
所以，△PQB的面積的最大值為 .
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