2015
菏澤一模文科
數學答案
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1、已知復數 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
2、設集合 ，則（ ）
A． B． C． D．
3、給定函數① ② ③ ④ ，其中在區間 上單調遞減的函數序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在 中，若 ，則 的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分（10分制）的頻率分布直方圖如圖所示，假設得分值的中位數為 ，
眾數 ，平均數為 ，則（ ）
A． B．
C． D．
6、已知平面 ，直線 ，且有 ，給出下列命題：
①若 ，則 ；②若 ，則 ；③若 ，則 ；④若 ，則 ，其中正確命題個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、若函數 的圖象如圖所示，則 的范圍為（ ）
A． B． C． D．
8、設雙曲線 的離心率為2，且一個焦點與拋物線 的交點相同，則此雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
9、已知函數 ，若函數 在R上有兩個零點，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10、若函數 ，并且 ，則下列各結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卷的橫線上。.
11、圓心在直線 上的圓與y軸交于兩點 ，則該圓的標準方程為
12、已知 滿足不等式組 ，則 的最大值
與最小值的比為
13、定義在實數集R上的函數 滿足 ，
且
現有以下三種敘述①8是函數 的一個周期；
② 的圖象關于直線 對稱；③ 是偶函數。
其中正確的序號是
14、執行如圖中的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 所在區間是
15、在實數集R中，我們定義的大小關系“ ”為全體實數排了一個“序”類似的，我們在平面向量 上也可以定義一個稱“序”的關系，記為“ ”，定義如下：對于任意兩個向量 ，“ ”當且僅當“ ”或“ 且 ”，按上述定義的關系“ ”，給出如下四個命題：
①若 ，則
②若 ，則 ；
③對于 ，則對于任意 ；
④對于任意向量 ，若 ，則
其中真命題的序號為
三、解答題：本大題共6小題，滿分75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
16、（本小題滿分12分）
已知函數 ，且當 時， 的最小值為2，
（1）求 的值，并求 的單調遞增區間；
（2）先將函數 的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的 ，再Ian個所得的圖象向右平移 個單位，得到函數 的圖象，求方程 在區間 上所有根之和。
17、（本小題滿分12分）
如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且
（1）證明：平面ABEF 平面BCDE；
（2）求三棱錐 的體積
18、（本小題滿分12分）
某高三年級從甲（文）乙（理）兩個年級組各選出7名學生參加高校自主招生
數學選拔考試，他們取得的成績（滿分：100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生的平均分是85，乙組學生成績的中位數是83.
（1）求 和 的值；
（2）計算甲組7位學生成績的方差 ；
（3）從成績在90分以上的學生中隨機取兩名學生，求甲組至少有一名學生的概率。
19、（本小題滿分12分）
數列 的前n項和為 ，且
（1）求數列 的通項公式；
（2）若數列 滿足： ，求數列 的通項公式；
（3）令 ，求數列 的 n項和 。
20、（本小題滿分13分）
設函數
（1）當 時，求函數 的單調區間；
（2）令 ，其圖象上任意一點 處切線的斜率 恒成立，求實數 的取值范圍。
（3）當 時，方程 在區間 內有唯一實數解，求實數 的取值范圍。
21、（本小題滿分14分）
橢圓 過點 ，離心率為 ，左右焦點分別為 ，過點 的直線交橢圓于 兩點。
（1）求橢圓 的方程；
（2）當 的面積為 時，求 的方程。
一、選擇題
B D B A D B D C D D
二、填空題
11.（x－2)2＋(y＋3)2＝5 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答題：
16. 解：（1）函數 ，…2分
， ，得 ；…4分
即 ，由題意得 ，
得 ，
所以函數 的單調遞增區間為 ．…6分
（2）由題意得 ，又由 得 ，…9分
解得 ， 即 ，
，故所有根之和為 ．……12分
17. （1）證明：正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點為G，
易知 ，且 ，
在多面體中，由 ，知 ，
故 ………………………………2分
又 平面BCDE，
故 平面BCDE，……………………….5分
又 平面ABEF，所以平面ABEF 平面BCDE；…6分
（2）連接AE、CE,則AG為三棱錐 的高，GC為
的高．在正六邊形ABCDEF中， ，
故 ，…………..9分
所以 ．……12分
18. 解（1）∵甲組學生的平均分是85，
∴ . ∴x=5. ………………………………1分
∵乙組學生成績的中位數是83， ∴y=3. …………………………………… 2分
（2）甲組7位學生成績的方差為：
……………………………………5分
（3）甲組成績在90分以上的學生有兩名，分別記為A，B，
乙組成績在90分以上的學生有三名，分別記為C，D，E. ……………………6分
從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分
其中甲組至少有一名學生共有7種情況：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分
記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲組至少有一名學生”為事件M，
則 .…………………………………………………………………………12分
19. 解：（1）當n＝1時，a1＝S1＝2，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2滿足該式，∴數列{an}的通項公式為an＝2n…………3分
（2） ，① ②
②－①得， ，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又當n=1時，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3） ＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 則3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1
∴ ， ……………………………………….10分
∴數列{cn}的前n項和． . ……12分
20. 解：（1）依題意，知 的定義域為 ，
當 時， ，
………………………………………….2分
令 ，解得 或 （舍去），
當 時， ；當 時， ，
所以 的單調增區間為 ，減區間為 ；…………….4分
（2）由題意知 ，則有 在(0,3)上恒成立，所以 ，當x0=1時， 取得最大值 ，
所以 ；………………………………………………………………………………8分
（3）當 時， ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
要使方程 在區間 上有唯一實數解，
只需 有唯一實數解，……………………………………………10分
令 ，∴ ，由 得 ； ，得 ，
∴ 在區間 上是增函數，在區間 上是減函數.
，故 . ……………………13分
21. 解：（1） 橢圓 過點 ， 離心率為 ，∴ ，又 ，
橢圓C的方程： ； …….5分
（2）由（1）知 ，①當l的傾斜角是 時，l的方程為 ，
交點 ，此時 ,不合題意. ….7分
②當l的傾斜角不是 時，設l的斜率為k,則其直線方程為 ，
由 消去y得： ，……….……….9分
設 ，則 ，………………10分
， ……………………...12分
又已知 ,
解得 ，
故直線l的方程為 ，即 或 ． ………….14分
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