第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1、已知復數 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
2、設集合 ，則（ ）
A． B． C． D．
3、給定函數① ② ③ ④ ，其中在區間 上單調遞減的函數序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在 中，若 ，則 的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分（10分制）的頻率分布直方圖如圖所示，假設得分值的中位數為 ，
眾數 ，平均數為 ，則（ ）
A． B．
C． D．
6、某電視臺的一個綜藝欄目對六個不同的節目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有（ ）
A．192種 B．216種 C．240種 D．288種
7、若函數 的圖象如圖所示，則 的范圍為（ ）
A． B． C． D．
8、設雙曲線 的離心率為2，且一個焦點與拋物線 的交點相同，則此雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
9、已知函數 ，若函數 在R上有兩個零點，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10、若函數 ，并且 ，則下列各結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卷的橫線上。.
11、如圖，正方體 的棱長為1，E為棱 上的點，
為AB的中點，則三棱錐 的體積為
12、已知 滿足不等式組 ，則 的最大值
與最小值的比為
13、定義在實數集R上的函數 滿足 ，
且
現有以下三種敘述①8是函數 的一個周期；
② 的圖象關于直線 對稱；③ 是偶函數。
其中正確的序號是
14、執行如圖中的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 所在區間是
15、在實數集R中，我們定義的大小關系“ ”為全體實數排了一個“序”類似的，我們在平面向量 上也可以定義一個稱“序”的關系，記為“ ”，定義如下：對于任意兩個向量 ，“ ”當且僅當“ ”或“ 且 ”，按上述定義的關系“ ”，給出如下四個命題：
①若 ，則
②若 ，則 ；
③對于 ，則對于任意 ；
④對于任意向量 ，若 ，則
其中真命題的序號為
三、解答題：本大題共6小題，滿分75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
16、（本小題滿分12分）
已知函數 ，且當 時， 的最小值為2，
（1）求 的值，并求 的單調遞增區間；
（2）先將函數 的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的 ，再Ian個所得的圖象向右平移 個單位，得到函數 的圖象，求方程 在區間 上所有根之和。
17、（本小題滿分12分）
如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且
（1）證明：平面ABEF 平面BCDE；
（2）求平面ABC與平面DEF所成的二面角（銳角）的余弦值。
18、（本小題滿分12分）
已知一個袋子里裝有只有顏色不同的6個小球，其中白球2個，黑球4個，現從中隨機取球，每次只取一球。
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續取球四次，至少取得兩次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且規定取完所有白球或取球次數達到五次就終止游戲，記游戲結束時一共取球X次，求隨機變量X的分布列與期望。
19、（本小題滿分12分）
數列 的前n項和為 ，且
（1）求數列 的通項公式；
（2）若數列 滿足： ，求數列 的通項公式；
（3）令 ，求數列 的 n項和 。
20、（本小題滿分13分）
已知函數 （其中 是自然對數的底數）， 為 導函數。
（1）當 時，其曲線 在點 處的切線方程；
（2）若 時， 都有解，求 的取值范圍；
（3）若 ，試證明：對任意 恒成立。
21、（本小題滿分14分）
已知焦點在 軸上的橢圓 的離心率為 ， 分別為左右焦點，過點 作直線交橢圓 于 （ 在 兩點之間）兩點，且 ， 關于原點 的對稱點為 。
（1）求橢圓 的方程；
（2）求直線 的方程；
（3）過 任作一直線交過 三點的圓于 兩點，求 面積的取值范圍。
一、選擇題
B D B A D B D C D D
二、填空題
11. 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答題：
16. 解：（1）函數 ，…2分
， ，得 ；…4分
即 ，由題意得 ，
得 ，
所以函數 的單調遞增區間為 ．…6分
（2）由題意得 ，又由 得 ，…9分
解得 ， 即 ，
，故所有根之和為 ．……12分
17.（１）證明：正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點
為G，易知 ，且 ，
在多面體中，由 ，知 ，
故 …………………………………………2分
又 平面 ，故 平面 ，………………..5分
又 平面ABEF，所以平面ABEF 平面BCDE．…………6分
（2）以G為坐標原點，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標系．
由 ， ， ，
則
.
， ， ， ．..8分
設平面ABC的法向量為 ，
則 ，即 ，令 ，得 ，
同理，可得平面DEF的一個法向量為 ，………………….10分
所以 ，
所以平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）的余弦值為 ．……….12分
18. 解：（1）記事件 表示“第i次取到白球”（ ），事件 表示“連續取球四次，至少取得兩次白球”，則：
. ……2分
， ……………………………………4分
，……………………………………………………5分
另解：記隨機變量 表示連續取球四次，取得白球的次數. 易知 ……2分
則 ，..5分
（2）易知：隨機變量X的取值分別為2，3，4，5 ……6分
，
， ， ……10分
∴隨機變量X的分布列為：
X 2 3 4 5
P
……………………………………………………11分
∴隨機變量X的期望為： . …………12分
19. 解：（1）當n＝1時，a1＝S1＝2，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2滿足該式，∴數列{an}的通項公式為an＝2n…………3分
（2） ，① ②
②－①得， ，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又當n=1時，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3） ＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 則3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1
∴ ， ……………………………………….10分
∴數列{cn}的前n項和． . ……12分
20. 解:（1）由 得 , ,..1分
所以曲線y= 在點(1, )處的切線斜率為 ,
, 曲線y= 切線方程為 ；
即 . …………………………………………………………4分
（2）由 得 ，令 ,
, ,
所以 在(0,1]上單調遞減,又當x趨向于0時， 趨向于正無窮大，故
即 ； ……………………7分
（3）由 ，得 , …………………..8分
令 , 所以 ，
因此,對任意 , 等價于 ，
由 , .得 ，
因此,當 時, , 單調遞增; 時, , 單調遞減
所以 的最大值為 ,故 ，…………10分
設 ,
,所以 時 , 單調遞增, ,
故 時, ,即 ，……………………12分
所以 .
因此,對任意 , 恒成立．………………………13分
21. 解.（1） 橢圓D； 的離心率為 ，
, 解之得m=2，…………………………………………………………2分
所以橢圓的方程為； ; ………………………………………………….3分
（2）設 ，則A, B的坐標滿足方程組 ,
把（2）式代入（1）式化簡得； ，……….5分
所以 ,
又因為 , 所以 , ,
所以 ，即 ,……………7分
解 , 得 ,…………….(3)
把（3）式代入 ，解之得
所以直線PA的方程為 ；………………….9分
（3）由（2）知 ，即 （或 ），
因A與C關于原點對稱，所以 （或 ），
設過 三點的圓為 ，
則 解之得 ，
所以圓的方程為 ，………………….10分
設過F2的直線EF為； ，則 ，
原點O到直線EF的距離為 ，
所以 ，………………………12分
令 ，則 ，所以 ，
所以 = = ，
所以 ．……………………………14分
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