2014
銀川一中二模理科
數學答案
絕密★啟用前
2014年普通高等學校招生全國統一考試
理 科 數 學
(第二次模擬考試)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～24題為選考題，其它題為必考題。考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1．答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請按照題號在各題的答題區域(黑色線框)內作答,超出答題區域書寫的答案無效。
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。
5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
第I卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集U=R，集合，，則集合等于
A． B． C． D．
2．若復數滿足，則=
A． B． C． D．
3．已知等比數列的公比大于1，，，則
A．96 B．64 C．72 D．48
4．設l，m，n表示不同的直線，α、β、γ表示不同的平面，給出下列四個命題：
①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，則l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且nβ，則l∥m.
其中正確命題的個數是
A．2 B．1 C．3 D．4
5從拋物線上一點P引拋物線準線的垂線，
垂足為M，且|PM|=5，設拋物線的焦點為F，
則△MPF的面積（ ）
A．5B．10C．20D．
6閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值是
A． B． C． D．
7．將甲、乙、丙等六人分配到高中三個年級，每個年級2人，要求甲必須在高一年級，乙和丙均不能在高三年級，則不同的安排種數為
A．18 B．15 C．12 D．9
8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A． B．
C．（2）D．（2）
9．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若＜cos A，則△ABC為
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形
10．現有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如下：
則按照從左到右圖象對應的函數序號安排正確的一組是
A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
11過雙曲線的右頂點A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B， C．若，則雙曲線的離心率是
A． B． C． D．
12設函數在(-∞,+∞)內有定義，對于給定的正數，定義函數：,取函數，若對任意的，恒有，則
A. k的最大值為2 B. k的最小值為2
C. k的最大值為1 D. k的最小值為1
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．已知向量，，且，若變量x，y滿足約束條件則z的最大值為
14的二項展開式中含的項的系數為
15若，且，則的值為 ．
16在平面直角坐標系中，記拋物線與x軸所圍成的平面區域為，該拋物線與直線y＝(k＞0)所圍成的平面區域為，向區域內隨機拋擲一點，若點落在區域內的概率為，則k的值為
17．（本小題滿分12分）
設數列的各項均為正數，它的前項的和為，點在函數的圖像上；數列滿足．其中．
（Ⅰ）求數列和的通項公式；
（Ⅱ）設，求證：數列的前項的和（）．
18 （本題滿分12分）
今年年初，我國多個地區發生了持續性大規模的霧霾天氣，給我們的身體健康產生了巨大的威脅。私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力。為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查了50人，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡（歲）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]頻數510151055贊成人數469634
（Ⅰ）完成被調查人員的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若從年齡在[15，25)，[25，35)的被調查
者中各隨機選取兩人進行進行追蹤調查，記選中的
4人中不贊成“車輛限行”的人數為ξ，求隨機變量ξ
19．（本小題12分）
已知正方形ABCD的邊長為1，．將正方形ABCD沿對角線折起，使，得到三棱錐A—BCD，如圖所示．
（I）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（II）求證：；
（III）求二面角的余弦值．
20.（本小題滿分12分）
已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點.
(Ⅰ)若P是第一象限內該圖上的一點，，求點P的作標；
(Ⅱ)設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線的斜率的取值范圍.
21.（本小題滿分12分）
設函數．
(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；
(Ⅱ)討論函數的單調性；
(Ⅲ)當時，設函數，若對于，，使成立，求實數的取值范圍.
22.（本小題滿分10分）選修4—1: 幾何證明選講．
如圖，在正ΔABC中，點D、E分別在邊BC, AC上,且,，AD，BE相交于點P.
求證：(I) 四點P、D、C、E共 圓；
(II) AP CP。
已知直線為參數), 曲線 （為參數）.
(I)設與相交于兩點,求；
(II)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.
已知函數．
(I)若不等式的解集為，求實數a的值；
(II)在(I)的條件下，若存在實數使成立，求實數的取值范圍．
題號123456789101112答案DCAABCDBAACD13. 3 14. 15 15. 1或
17．⑴由已知條件得， ①
當時，， ②
①－②得：，即，
∵數列的各項均為正數，∴（），
又，∴；∵，
∴，∴；
⑵∵，
∴，
，
兩式相減得，
∴．
（）的所有可能取值為：0,1,2,3……………6分
所以的分布列是：
19． (I) 在正方形ABCD中，是對角線的交點，
O為BD的中點， M為AB的中點， OM∥AD.
又AD平面ACD，OM平面ACD， OM∥平面ACD.
（II）證明：在中，，，
，.
又 是正方形ABCD的對角線，，
又.
（III）由（II）知，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系.則，
是平面的一個法向量.，，
設平面的法向量,則，.
即，
所以且令則，，解得.
從而，二面角的余弦值為.
20．（Ⅰ）易知，，．
∴，．設．則
，又，
聯立，解得，．
（Ⅱ）顯然不滿足題設條件．可設的方程為，設，．
聯立
∴，由
，，得．①又為銳角，∴
又
∴
∴．②
綜①②可知，∴的取值范圍是
21. 函數的定義域為，
(Ⅰ)當時，，
∴在處的切線方程為
(Ⅱ)，的定義域為
當時，，的增區間為，減區間為
當時，
，的增區間為，減區間為，
， 在 上單調遞減
，
時，
(Ⅲ)當時，由(Ⅱ)知函數在區間上為增函數，
所以函數在上的最小值為
若使成立在上的最小值不大于
在[1，2]上的最小值（*）
又
①當時，在上為增函數，
與（*）矛盾
②當時，，
由及得，
③當時，在上為減函數，
， 此時
綜上所述，的取值范圍是
22.證明：（）在中，由知：
≌
即
所以四點共圓；
（II）如圖，連結.
在中，,,
由正弦定理知
由四點共圓知，,
所以
23．解.（I）的普通方程為的普通方程為
聯立方程組解得與的交點為,,
則.
（II）的參數方程為為參數).故點的坐標是,從而點到直線的距離是
,
由此當時,取得最小值,且最小值為.
解：（）由得，，即，
，。分
（）由（）知令，
則，
的最小值為4，故實數的取值范圍是。10分
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