2014
惠州二模數學答案（文科）
廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數 學 試 題（文科） 2014.04
本試卷共5頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將答題卡一并交回。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，則向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
4．是虛數單位，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等
的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為，那么這
個幾何體的體積為 ( )
A． B．
C． D．
6．用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知橢圓的長軸在軸上，焦距為，則等于 （ ）
A． B． C． D．
8．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面。下列四個命題正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
10．設命題：函數的圖象向左平移個單位長度得到的曲線關于軸對稱；
命題：函數在上是增函數．則下列判斷錯誤的是（ ）
A．為假 B．為真 C．為假 D．為真
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
11．已知點滿足，則的最小值是 ．
12. 程序框圖（即算法流程圖）如下圖所示，其輸出結果是 ．
13．設一直角三角形的兩條直角邊長均是區間上
的任意實數，則斜邊長小于的概率為 ．
(二)選做題(14～15題,考生只能從中選做一題)
14．（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系下，曲線
，曲線.若曲線有公共點，則實數的取值范圍是____________．
15．（幾何證明選講選做題）如右圖所示，是圓
外一點，過引圓的兩條割線
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
已知函數
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本小題滿分12分）
某校高三（1）班共有名學生，他們每天自主學習的時間全部在分鐘到分鐘之間，按他們學習時間的長短分個組統計,得到如下頻率分布表：
組別 分組 頻數 頻率
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
（1）求分布表中，的值；
（2）王老師為完成一項研究，按學習時間用分層抽樣的方法從這名學生中抽取名進行研究，問應抽取多少名第一組的學生？
（3）已知第一組學生中男、女生人數相同，在（2）的條件下抽取的第一組學生中，既有男生又有女生的概率是多少？
18．（本小題滿分14分）
如圖1，在直角梯形中，，，且．
現以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．
（1）求證：∥平面;
（2）求證：;
（3）求點到平面的距離.
19.（本小題滿分14分）
已知正項數列中，，前n項和為，當時，有.（1）求數列的通項公式；
（2）記是數列的前項和，若的等比中項，求 .
20.（本小題滿分14分）
已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．
21.（本小題滿分14分）
已知函數
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調區間；
(3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B D C A A C D
1．【解析】選A，
2．【解析】選D，.
3．【解析】選B，.
4.【解析】選B，
5.【解析】選D, 由三視圖還原幾何體可知.
6.【解析】選C， 設，
當連續函數
7.【解析】選A，
8.【解析】選A，有面面平行的性質可知A正確.
9.【解析】選C,相鄰兩項依次結合可得：
10. 【解析】選D ，
二．填空題
11. 12. 13.
14. （ 或 ） 15.
11.【解析】
12.【解析】連續遞推可得
13.【解析】設兩條直角邊長為，
14.【解析】化為普通方程后，圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑（），解不等式即可.
15.【解析】由割線定理可得
三．解答題
16. （本小題滿分12分）
解：(1) …………………2分
(2) …………4分
……………………6分
……………………8分
…………10分
因為，且，所以 ………11分
所以 ………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（1），． …………4分
（2）設應抽取名第一組的學生，則得．
故應抽取2名第一組的學生． …………6分
（3）在（2）的條件下應抽取2名第一組的學生，記第一組中2名男生為，2名女生為．
按時間用分層抽樣的方法抽取2名第一組的學生共有種結果，列舉如下：
． ……………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有這4種結果， ……10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率為. …………12分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：取中點，連結．
在△中，分別為的中點，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． …………………………3分
所以四邊形為平行四邊形．
所以∥． …………………………4分
又因為平面，且平面，
所以∥平面． ………………………5分
（2）在正方形中，．
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以． ………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以． …………………………8分
所以平面． …………………………10分
（3）解法一：因為平面， 所以平面平面． …………11分
過點作的垂線交于點，則平面
所以點到平面的距離等于線段的長度 ………………………12分 在直角三角形中，
所以
所以點到平面的距離等于. ………………………14分
解法二：平面,所以
所以
………………………12分
又，設點到平面的距離為
則 ，所以
所以點到平面的距離等于. ………………………14分
19. （本小題滿分14分）
解析： （1）
……………1分
， ……………2分
…………………………………………3分
………………………………………4分
……………6分
（2）
…………………………………7分
…………………………………9分
……………11分
……………………………………13分
………………………………………14分
20.（本小題滿分14分）
解析：（1）由題意可得，， ∴ …………2分
∴， …………………3分
所以橢圓的方程為． …………………4分
（2）曲線是以為圓心，半徑為2的圓。
設，點的坐標為，…………………5分
∵三點共線， ∴，…………………6分
而，，則，
∴， ………………………………………8分
∴點的坐標為，點的坐標為， …………………10分
∴直線的斜率為，
而，∴，
∴， …………………12分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，…………………13分
所以直線與曲線相切． ……………………………14分
21．（本小題滿分14分）
解：(1)由已知， …………………………1分
，所以斜率， …………………………2分
又切點，所以切線方程為)，即
故曲線在處切線的切線方程為。 ………………3分
(2) ………………4分
①當時，由于，故，，所以的單調遞增區間為.
………………………………5分
②當時，由，得. ……………………6分
在區間上，，在區間上，，
所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. …………7分
（3）由已知，轉化為. ………………8分
，所以 ………………9分
由(2)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.) ………………10分
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，， ………12分
所以， 解得. …………14分
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