2014
惠州二模數學答案（理科）
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廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數 學 試 題 (理科） 2014.04
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡一并交回．
參考公式：①如果事件互斥，則
②如果事件相互獨立，則
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1．設集合=,則集合的子集的個數為（ ）
. . . .
2.不等式的解集為（ ）．
. .
. .
3．若拋物線的焦點坐標為，則的值為（ ）
. . . .
4．“”是“函數的最小正周期為”的（ ）
．充分不必要條件 ．必要不充分條件
．充要條件 ．既不充分也不必要條件
5．如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，
那么這個幾何體的體積為 ( )
. . . .
6．程序框圖的運算結果為 ( )
. . . .
7.橢圓與直線交于、兩點，過原點與
線段中點的直線的斜率為，則值為（ ）
． ． ． ．
8.已知滿足則
的最大值為( )
. . . .
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．復數（為虛數單位）的虛部等于__________.
10．二項式的展開式的常數項是__________.（用數字作答）
11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是__________.
12．已知為互相垂直的單位向量，, ,且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 ．
13. 已知數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列. 類比上述結論，已知數列是正項等比數列，若= ，則數列{}也為等比數列.
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分．
14．（極坐標與參數方程）若圓的方程為：（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________ ．(極角范圍為)
15．（幾何證明選講）如右圖，是圓外一
點，過引圓的兩條割線、，
==，=，則=____________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本題滿分12分）
已知函數
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本題滿分12分）
在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記．
（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
18．（本題滿分14分）
如圖，已知正三棱柱—的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．
（1）求此正三棱柱的側棱長；
（2）求二面角的余弦值大小.
19．（本題滿分分）
設等比數列的前項和為，已知()
（1）求數列的通項公式；
（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列．
求證：().
20．(本題滿分14分)
平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于、，當長最小時，求直線 的方程；
（3）設、是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線、分別交于軸于點（）和（），問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
21.（本題滿分分）
已知函數
（1）求函數的單調區間；
（2）如果關于x的方程有實數根，求實數的取值集合；
（3）是否存在正數，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根？如果存在，求滿足的條件；如果不存在，說明理由.
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D B B A
1.【解析】集合的子集有、、、.選D.
2.【解析】得：.選B.
3.【解析】．選B.
4.【解析】當時,函數可化為,故周期;反之，函數可化為，若周期為，則.選A.
5.【解析】可知該幾何體是三棱錐，底面面積為，高為1，故．選D．
6.【解析】當時，,選B．
7.【解析】設交點分別為、，代入橢圓方程：，由兩式得：，即，，可化簡為：，即.選B.
8.【解析】已知滿足則可化為
；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知
，，當且僅當取等號，即或
時，的最大值為.選Ａ.
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9． 10． 11． 12．
13． 14． 15．
9.【解析】＝，所以虛部等于.
10．【解析】=，=，當則,常數項為=.
【解析】先畫出可行域（如圖），是可行域內的點
與原點連線的斜率，當直線過點時，取得最大值.
【解析】=，又為銳角，
解得：，.
13. 【解析】由等差數列的的和，則等比數列可類比為
﹒的積；對求算術平均值，所以對
﹒求幾何平均值，所以類比結果為.
14.【解析】圓的圓心為，，又圓心在第一象限，故.圓心的極坐標為.
15.【解析】如右圖，是圓外一點，過引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =由圓的割線定理，即,化簡為
，解得:或（舍去）.
三．解答題
16．（本題滿分12分）
本小題考查三角函數的化簡與求值。
解（1）依題意得
16. （本題滿分12分）
解：(1) ………………2分
(2) …………4分
…………6分
………8分
…………10分
因為，且，所以 ……11分
所以 ………12分
17．（本題滿分分）
本小題考查利用離散型隨機變量分布列的建立以及期望的求法.
解：（1）、可能的取值為、、，
，，
，且當或時，． ……………3分
因此，隨機變量的最大值為．
有放回抽兩張卡片的所有情況有種，
．
答：隨機變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為． ………4分
（2）的所有取值為．
時，只有這一種情況， ………5分
時，有或或或四種情況，
………6分
時，有或兩種情況． ………7分
，，． …………10分
則隨機變量的分布列為：
………11分
18．（本題滿分分）
本小題考查利用定義法（向量法）求空間幾何中的角度問題。
解：（1）設正三棱柱—的側棱長為．取中點，連．
是正三角形，．………1分
又底面側面，且交線為．
側面．連，則直線與側面所成的角為． ……………4分
在中，，解得． ………5分
此正三棱柱的側棱長為． …………6分
（2）解法一：過作于，連，
側面．
為二面角的平面角． ………9分
在中，，又
， ．
又……11分
在中，． …………13分
故二面角的余弦值得大小為． ………14分
（2）解法2：如圖，建立空間直角坐標系．
則．…………8分
設為平面的法向量．
由 得．
取 ………10分
又平面的一個法向量 …………11分
． ……12分
…………13分
結合圖形可知，二面角的余弦值大小為．……14分
19．（本題滿分分）
本小題考查利用等比數列的定義及其通項公式求法、和項公式的應用，以及錯位求和與放縮法求證數列不等式。
解：（1）設等比數列的首項為，公比為，………………1分
，（）………………2分
=
即()………3分
當,得，即，解得：……………4分
………5分
即.………6分
（2）①，則，………8分
………9分
設① 則②………10分
①-②得：2+
=+=………12分
………13分
………14分
20．（本題滿分分）
本小題考查利用待定系數法直線與圓的方程，以及圓中定值問題的求解。
解：（1）因為點到直線的距離為，…………………1分
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.……………2分
（2）設直線的方程為，即，
由直線與圓相切，得，即， ……………4分
，
當且僅當時取等號，此時直線的方程為．………6分
(3)設，，則，，，
直線與軸交點，，
直線與軸交點，，………………10分
………………13分
故為定值2． ………………14分
21．（本題滿分分）
本小題考查利用導數研究函數的單調區間以及用導數的方法討論方程根的情況。
解：（1）函數的定義域是
對求導得 …………2分
由 ，由
因此 是函數的增區間；
（－1，0）和（0，3）是函數的減區間 ………………5分
（2）因為
所以實數m的取值范圍就是函數的值域 …………6分
對
令
∴當x=2時取得最大值，且
又當x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，
進而有無限趨近于－∞.因此函數的值域是 ,即實數m的取值范圍是 ………………9分
（3）結論：這樣的正數k不存在。 ………………10分
下面采用反證法來證明：假設存在正數k，使得關于x的方程
有兩個不相等的實數根，則
…………11分
根據對數函數定義域知都是正數。
又由（1）可知，當時，
∴=，=，
再由k>0，可得
由于 不妨設 ，
由①和②可得
利用比例性質得
即 …………13分
由于上的恒正增函數，且
又上的恒正減函數，且∴
∴，這與（*）式矛盾。
因此滿足條件的正數k不存在 ……………………14分
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