2014達州二診數學（理科）試題答案
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達州市2014屆第二次診斷性測試
一、選擇題 AADAA DCDDB
二、填空題：11. 80； 12. ； 13. ； 14.； 15. ①②③
16. 解：（Ⅰ）
………………………………………………… 4分
由，得，
時，函數的值域為 ………………… 6分
(Ⅱ)
………8分
又 …………………10分
設AB邊上的高為CD,所以CD= ………………12分
17. （Ⅰ）時，由及
得， 成立 ……………………3 分
又已知,， ………………………4分
是以5為首項，3為公比的等比數列 . ………………5分
………………………………………6分
(Ⅱ)， ………………………………………7分
則 ………………………8分
…………………12分
18. （Ⅰ）由題意知
解之得。 ……………………………………………………5分
(Ⅱ)由題意知X的取值可能為0，1，2 …………………………6分
P(X＝i)＝(i＝0,1,2)， …………………………9分
X的分布列為
E(X)＝＋＝. ………………12分
19 解:(Ⅰ)證明：∵ EG=2, 又易知AEGD為為正方形，∴DG⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG ；又∵EG=EB=2．可得BG＝CG＝，由知BG⊥CG，，∴CG⊥面BDG （也可建系證明） …………………………6分
(Ⅱ)解：點、分別是、的中點,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，如圖建立空間坐標系E﹣xyz．B(2,0,0)，D(0,2,2) C(2,4,0)易求得即EG=1∵G(0,1,0),設平面DBG的法向量為,
∴(－2,2,2), ……………7分
則 ,即
取x＝1,則y＝2,z＝－1,∴ …………………………9分
取面BCG的一個法向量為.
則cos<>= …………………10分
所以此二面角平面角的余弦值為 ……………………12分
20．解：（Ⅰ）由題意得將代入拋物線得， …2分
拋物線方程為 ………………………3分
求得，在橢圓中， …………………………4分
故橢圓方程為。 …………………………………………6分
（Ⅱ）設BN的斜率為，則直線BN的斜率為，又兩直線均過定點B（0，－1），設直線BM：，直線BN： ……………………7分
由得方程，
， …………………………8分
同理由得方程，
，。 …………………………9分
…………………………11分
MN的方程為化簡得：
故過定點（0，1） …………………… ……13分
21、（Ⅰ），∵是函數的極值點，∴.∵1是函數的零點，得，
由解得. ……………………………………………3分
（Ⅱ）令，，則為關于的一次函數且為增函數，
根據題意，對任意，都存在，使得成立，
則在有解， ……………………………………5分
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上單調遞增，， ………7分
①當，即時，，即，在(1，e)上單調遞增，∴，不符合題意.
②當，即時，，
若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，
∴在(1，e)上單調遞減, ∴存在，使得，符合題意.
若，則，∴在(1，e)上一定存在實數，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調遞減,∴存在，使得，符合題意.
綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立. …9分
（注：如分離也可根據步驟給分）
（Ⅲ）證明：由題意，可知
方程有兩個不相等實根，且，又，，且，
……………………………11分
構造
當，則，在上為增函數，
即成立。 …………………………………14分
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