2014邢臺一模理科
數學答案
(Ⅱ)記，其中
由正弦定理得，，………8分
，
其中， ……10分
可以取到
因此的最大值為 ……………………12分
18．解析：(Ⅰ)第二組的頻率為，
所以高為
頻率分布直方圖如下：
第一組的人數為，頻率為，所以
第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數為，所以
第四組的頻率為，第四組的人數為
所以 ………………6分
(Ⅱ)因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30=2:1，
所以采用分層抽樣法抽取18人，歲中有12人，歲中有6人，隨機變量
，
所以隨機變量的分布列為
X 0 1 2 3
P
………10分
19.（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得△為正三角形.
因為為的中點，所以.又，因此.………2分
因為，，所以.而，
且，所以，又.
所以 …………………4分
（Ⅱ）解：為上任意一點，連接.由（Ⅰ）知，
則為直線與平面所成的角.
所以 當最短時，最大，
即 當時，最大.
此時
.又，所以 所以 ………6分
解法一：因為，，
所以 .
過作于，則，
過作于，連接，
則為二面角的平面角， ………8分
在Rt△中， ，,………10分
又是的中點，在Rt△中，,
又
在Rt△中，
即所求二面角的余弦值為 ……………12分
解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標
系，又分別為的中點，所以,
，
所以 ………8分
設平面的一個法向量為
………10分
所以，故 為平面的一個法向量.
又，所以.
因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為.………12分
20解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，則， ①
∵拋物線的焦點為，∴， ② ……2分
又， ③
由①、②、③得，
所以橢圓的方程為 ……………………4分
（Ⅱ）依題意，直線的斜率為-1，由此設直線的方程為，
代入橢圓的方程，得，
由△，得 ……………….6分
記、，
則，
圓的圓心為，
半徑， …………8分
當圓與軸相切時，，
即，， ……………….10分
當時，直線的方程為，
此時，，圓心為（2，1），半徑為2，
圓的方程為；
同理，當時，直線的方程為，
此時，，圓心為（-2，-1），半徑為2，
……………………………………12分
21.解：（Ⅰ）的定義域為
…………2分
當時，，則在內單調遞減 …………4分
當時，，，單調遞減；
，，單調遞增 ………………………6分
（Ⅱ）當時，由（1）可知在內單調遞減，在內單調遞增
， ………8分
即，
令
而，
易知時，取得最大值,即 ………10分
∴
…………………12分
22.解：（Ⅰ） 由是圓的切線，因此=，
在等腰中，，可得，所以
. ……………… 5分
（Ⅱ）
，由切割線定理可知，
，則，又，可得 . ……10分
23. 解:（Ⅰ）曲線的普通方程為
直線的參數方程為 ……………………………5分
（Ⅱ）將的參數方程為代入曲線的方程得：
……………………………………10分
24.解: （Ⅰ）當時，不等式為
當時，不等式即，
當時，不等式即，
綜上，不等式的解集為 ……………………………………5分
（Ⅱ）
當時，單調遞減，無最小值；
當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，
處取得最小值
當時，單調遞增，無最小值；
綜上， …………………………………………………………10
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