2014
嘉興二模 理科
數學答案
2014年高三教學測試（二）
（本大題共10小題，每題5分，共50分）
1．A；2．A；3．D；4．；5．C；
6．D；7．A；8．D；9．B；10．C．
第9題提示：
①：因為，與相交不垂直，所以與不垂直，則①不成立；
②：設點的平面射影點時就有，可使條件滿足，所以②正確；
③：當點落在上時，平面，平面平面，所以③正確．
④：因為點的射影不可能在上，所以④不成立第10題提示：
表示的平面區域是由圍成的三角形區域（包含邊界）．與表示的平面區域無公共點, 所以滿足：或．在如圖所示的三角形區域（除邊界且除原點）．的取值范圍是．（本大題共7小題，每題4分，共28分）
11； 12．512； 13．（或6562）； 14；
15； 16．； 17．14．
第17題提示：
集合中的方程表示圓心在直線上的六個圓, 由對稱性只需考慮第一象限. 記對應的圓分別為⊙, ⊙,⊙,易知⊙與⊙外切, ⊙與⊙, ⊙相交, 且經過⊙的圓心.對應的三條直線，與⊙外切，與⊙外切且與⊙相交，與⊙與⊙的外公切線且與⊙相交，由圖知在第一象限共有7個交點，故共有14個交點.
（本大題共5小題，共72分）
18．（本題滿分14分）
在△中，角、、的對邊分別為、、，且．
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若，，求△面積的最小值．
18．（Ⅰ）由正弦定理，得．
∴ ．
∴ （舍）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中可得或．
又 時，，，即，矛盾．
所以，，即．
所以，
即當時，的最小值是．
．（本題滿分15分）
如圖，四棱錐中，平面，,，，是棱的中點．
（Ⅰ）若，求證：平面；
（Ⅱ）求的值，使二面角的平面角最小．
．（Ⅰ）當時，
∵,．
∴．
又平面，∴．
∴平面．
又平面，
∴．
又，是棱的中點，
∴．
∴平面．（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，則，，
，．
∴、．
設平面的法向量為，
則
取，得．
又易知平面的法向量為．
設二面角的平面角為，則
要使最小，則最大，即，
∴ ，得
．（本題滿分14分）
有三個盒子，每個盒子中有紅、黃、藍顏色的球各一個，所有球僅有顏色上的區別．
（Ⅰ）從個盒子中取一球，為“取得色的三個球為“取得顏色互不相同的三個球和；
（Ⅱ）從盒中任取一球放入盒，再從盒中任取一球放入盒，最后從盒中任取一球放入盒，此時盒中紅球的個數為，求的分布列與
數學期望．
．（Ⅰ），．
（Ⅱ）的可能值為．
①考慮的情形，首先盒中必須取一個紅球放入盒，相應概率為，此時盒中有2紅2非紅；若從盒中取一紅球放入盒，相應概率為，則盒中有2紅2非紅，從盒中只能取一個非紅球放入盒，相應概率為；若從盒中取一非紅球放入盒，相應概率為，則盒中有1紅3非紅，從盒中只能取一個非紅球放入盒，相應概率為．故．
②考慮的情形，首先盒中必須取一個非紅球放入盒，相應概率為，此時盒中有1紅3非紅；若從盒中取一紅球放入盒，相應概率為，則盒中有2紅2非紅，從盒中只能取一個紅球放入盒，相應概率為；若從盒中取一非紅球放入盒，相應概率為，則盒中有1紅3非紅，從盒中只能取一個紅球放入盒，相應概率為．故．
③．
所以的分布列為
21．（本題滿分15分）
如圖，橢圓長軸的右端點為，短軸端點分別為、，拋物線．
（Ⅰ）若上存在點，使四邊形菱形，求的方程；
（Ⅱ）若，過作拋物線的切線，切點為，直線與相交于另一點，求的取值范圍．
21．（Ⅰ）由四邊形是菱形，得，
且，解得，，
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）不妨設（），
因為，
所以的方程為，即．
又因為直線過點，所以，即．
所以的方程為．
聯立方程組，消去，得．
所以點的橫坐標為，
所以．
又，所以的取值范圍為．
22．（本題滿分14分）
已知函數．
（Ⅰ）令，若函數的圖象上存在兩點、滿足（為坐標原點），且線段的中點在軸上，求的取值集合；
（Ⅱ）若函數存在兩個極值點、，求的取值范圍．
22．（Ⅰ）由題意，不妨設，，且，
∴，即，∴．
∵，
∴的取值集合是．
（Ⅱ），．
要使存在兩個極值點，則
即在上存在兩不等的實根．
令，
∵的圖象的對稱軸為，∴且．
∴．
由上知．
∴
．
令，，
∴，在上單調遞減，
∴ ．
故的取值范圍是．
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