2014
河南中原名校第二次聯考數學（理）答案
一、選擇題：CDCCB ABBDA DB
二、填空題：13.0 14.168 15. 16.
17.解：(Ⅰ)
.
∴函數的最大值為.當取最大值時
,解得.
故的取值集合為.……………………………………(6分)
(Ⅱ)由題意,化簡得
,, ∴, ∴
在中,根據余弦定理,得.
由,知,即.
∴當時,取最小值.…………………………..……………………(12分)
18.解：(Ⅰ)由頻率分布直方圖得,獲得參賽資格的人數為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)
(Ⅱ)設500名學生的平均成績為,則＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分.
…………………………………………………………………………..…………(6分)
(Ⅲ)設學生甲答對每道題的概率為,則,∴＝.
學生甲答題個數的可能值為3,4,5,
則=＝
＝所以的分布列為
345＝×3＋×4＋×5＝.…………………………..……………….. (12分)
19. (Ⅰ)證明：是的中點時,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.……………………………………………………..………(6分)
(Ⅱ)建立如圖所示的坐標系,則有,,,,設,
,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有.………………………………………………………………(12分)
20.解：(Ⅰ)設拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.………………………………………………(2分)
設直線的方程為,點、的坐標分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設點坐標為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點,即,代入上式得
注意到上式對任意都成立,
故有,從而點坐標為.…………………………………………(8分)
(Ⅱ)假設存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（Ⅰ）問可知,將用代換得直線的方程為.設,
由消,得.
∴ ,.
∵的中點坐標為,即,
∵,∴的中點坐標為.
由已知得,即.
設,則,
在上是增函數.又,,
在內有一個零點.函數在上有且只有一個零點,
所以滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個. ……………………..………(12分)
21.解：(Ⅰ),,.
∴,且.解得a＝2,b＝1. ……...…………(4分)
(Ⅱ),設,
則,令,得x＝1(x＝－1舍去).
當x∈時,, h(x)是增函數；當x∈時,, h(x)是減函數.
則方程在內有兩個不等實根的充要條件是
解得.………………………………………..………(8分)
(Ⅲ),.假設結論成立,
則有,①－②,得.
∴.由④得,于是有,∴,
即.⑤ 令, (0＜t＜1),則＞0.
∴在0＜t＜1上是增函數,有,∴⑤式不成立,與假設矛盾.
∴.……………………………………………………………..………(12分)
22. (Ⅰ)證明：設與交于點,連接.
,,又△∽△,
.于是有,注意到
,∴△∽△,
∴,∴四點共圓.從而有,
∴.………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)在△中, ,
,,,由,知,
.又,.
故.………………………………………………………………(10分)
23.解：(Ⅰ)曲線：,直線：.…….. ….…………(5分)
(Ⅱ)曲線：,與直線聯立得,消去,得
,由△知,,. ……….…(10分)
24. 解：(Ⅰ),
的解集是.…………………... …….…………(5分)
(Ⅱ)時,時,,結合的圖像知,
,解得或,
故的取值范圍是.…………………..……………..……(10分)
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