2014南開中學二診理科
數學答案
重慶南開中學高2014級高三二診模擬考試
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第I卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、設是虛數單位，則復數的虛部是（ ）
A、B、C、D、
2、已知命題，命題，則（ ）
A、命題是假命題B、命題是真命題
C、命題是真命題D、命題是假命題
3、已知等比數列的公比，且成等差數列，則的前8項和為（ ）
A、127B、255C、511D、1023
4、若展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是（ ）
A、180B、120C、90D、45
5、已知菱形的邊長4，，若在菱形內任取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離均大于1的概率為（ ）
A、B、C、D、
6、若拋物線上一點到焦點和軸的距離分別為5和3，則此拋物線的方程為（ ）
A、B、
C、或D、或
7、某程序框圖如圖所示，現分別輸入下列四
個函數，則可以輸出的是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、已知的三個內角所對的邊分別為，若且，則（ ）
A、B、
C、D、
9、已知某幾何體的三視圖如圖所示，過該幾
何體最短兩條棱的中點作平面，使得平
分該幾何體的體積，則可以作此種平面
（ ）
A、恰好1個
B、恰好2個
C、至多3個
D、至少4個
10、數列滿足：，其中，，其中，則滿足條件的數列的項數的最大值為（ ）
A、4025B、4026C、D、
第II卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分。把答案填寫在答題卡相應位置上。
11、隨機變量服從正態分布，且 。
12、若，且，
則的最小值為 。
13、等邊的邊長為2，取各邊的三等分點并連線，
可以將分成如圖所示的9個全等的小正三角形，
記這9個小正三角形的重心分別為，
則 。
考生注意：14、15、16為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。
14、如圖，是圓的直徑，過、的兩條弦
和相交于點，若圓的半徑是2，那么
的值等于 。
15、直線（為參數）與圓（為參數）相交所得的弦長的取值范圍是 。
16、已知函數。若關于的不等式的解集是，則的取值范圍是 。
三、解答題：本大題6個小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、（本題滿分13分，第（1）問5分，第（2）問8分）
為了參加首屆中學生合唱比賽，學校將從四個班級中選出18名學生組成合唱團，學生來源人數如下表：
班級班班班班人數4[]635（1）從這18名學生中隨機選出兩名，求兩人來自同一個班級的概率；
（2）若要求選出兩名學生作為學生領唱，設其中來自班的人數為，求隨機變量的分布列，及
數學期望。
18、（本題滿分13分，第（1）問5分，第（2）問8分）
已知函數。
（1）求函數在點處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間和極值。
19、（本題滿分13分，第（1）問6分，第（2）問7分）
已知函數的圖像上的一個最高點，與該最高點最近的一個最低點是。
（1）求函數的解析式及其單調增區間；
（2）在中，角所對的邊分別為，且，角的取值范圍是區間，當時，試求函數的值域。
20、（本題滿分12分，第（1）問6分，第（2）問6分）
直四棱柱中，底面為菱形，且，，為的延長線上一點，，設。
（1）求二面角的大小；
（2）在上是否存在一點，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。
21、（本題滿分12分，第（1）問4分，第（2）問8分）
如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓相切于點，且橢圓與的離心率均為。
（1）求橢圓與橢圓的方程；
（2）過點引兩條互相垂直的兩直線、，與兩橢圓，分別交于點與點（均不重合）。若，求與的方程。
22、（本題滿分12分，第（1）問4分，第（2）問8分）
設集合，若存在非空集合，使得，且集合的所有元素之和等于集合的所有元素之和，則稱集合為“最強集合”。
（1）若“最強集合”，求的所有可能值；
（2）若集合的所有元子集都是“最強集合”，求的最小值。
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