2014
益陽一模理科
數學試題答案
絕密 ★ 啟用前
2014屆益陽市高三模擬考試
本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共頁，時量120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1若R，為虛數單位，且，則A． ，B． ，
C． ，D． ，
2已知，則、、的大小關系是
A．B．
C．D．
3．執行如下圖所示的程序框圖，則輸出的結果是
A．6
B．8
C．10
D．15
4．設某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為A．
B．
C．
D．
5．為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數），將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據統計圖的數據，下列結論錯誤的是A．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的中位數為26.25次
B．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的眾數為27.5次
C．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的人數約有320人
D．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的人數約有32人
6設變量x，y滿足約束條件，則的最大值是
A．7B．8C．9 D．10
7．下列有關命題的說法正確的是
A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．
B．“” 是“”的必要不充分條件.
C．命題“若，則”的逆否命題為真命題.
D．命題“R使得”的否定是：“R均有”．
8在中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．若．則角C等于
A．B．C．D．
9．設是的展開式中項的系數（），若，則的最大值是
A．B．C．D．
10．函數的定義域為，且其圖象上任一點滿足方程，給出以下四個命題：①函數是偶函數；
②函數不可能是奇函數；③，；④，.其中真命題的個數是
A．1B．2 C．3D．4
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
（一）選做題（請考生在第11、12、 13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）
11在直角坐標系中,曲線的參數方程為（t為參數），在極坐標系 與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點,以軸正半軸為極軸中，曲線的極坐標方程為,則與的兩個交點之間的距離等于 .
12不等式的解集是 .
13如圖，在Rt△ADE中，是斜邊AE的中點，以為直徑的圓與邊DE相切于點C，若 AB＝3，則線段CD的長為 ．
（二）必做題（14～16題）
14．已知向量a=(,), b =(,)若a∥b則= .
15．直線與拋物線所圍圖形的面積等于 .
16．設集合={1，2，3，4，5},對任意和正整數，記，其中，表示不大于的最大整數，則= ，若，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
已知函數，R．
（Ⅰ）求的最小值，并求出相應的值的集合；
（Ⅱ）求的單調遞減區間．
18（本小題滿分12分）
甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨立的．
（Ⅰ）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；
（Ⅱ）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和
數學期望．
19（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，,,為的中點，,=.
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（本小題滿分13分）
科學研究證實，二氧化碳等溫室氣體的排放（簡稱碳排放）對全球氣候和生態環境產生了負面影響.環境部門對A市每年的碳排放總量規定不能超過萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2013年的碳排放總量為萬噸，通過技術改造和倡導低碳生活等措施，此后每年上一年的碳排放總量減少%．同時，因經濟發展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸（m>0）.
（Ⅰ）求A市2015年的碳排放總量(用含m的式子表示)；
（Ⅱ）若A市永遠不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.
21．（本小題滿分13分）
已知橢圓()的短軸長為2，離心率為．過點（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點,為坐標原點.（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）若點關于軸的對稱點是，證明：直線恒過一定點.
22（本小題滿分13分）
已知函數，．
（Ⅰ）若直線恰好為曲線的切線時，求實數的值；
（Ⅱ）當，時（其中無理數），恒成立，試確定實數的取值范圍．2014屆益陽市高三模擬考試參考答案
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁．時量120分鐘，滿分150分．
1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．
二、填空題： 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
（一）選做題（請考生在第11、12、 13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）
11．．} 13． 15．．（提示：利用的單調性進行估算驗證確定）
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
解:（Ⅰ）
.（6分）
所以函數的最小值為,
此時滿足,
即相應的的取值的集合為.（9分）
（Ⅱ）由得
所以函數的單調遞減區間為． （12分）
18.（本小題滿分12分）
解:（Ⅰ）記“甲海選合格”為事件ＡＢＣＥ．（4分）
（Ⅱ）的所有可能取值為0, 1, 2, 3．
；
；
；
．
所以的分布列為
0123． （12中，，
，
，
則為直角三角形，
所以，．
又由已知，
且是的中點，可得
又，
平面
又面
平面平面．（點為坐標原點，建立如圖
所示直角坐標系，
則，
．
設平面的法向量為，則有
即
解得：，
所以，平面的一個法向量為，
，
故直線與平面所成角的正弦值為． （20.（本小題滿分13分）
2014年的碳排放總量為，2015年的碳排放總量為，…
（Ⅰ）由已知，,
=. （,
…
.（
（1）當即時,顯然滿足題意；
（2）當即時，
由指數函數的性質可得:，解得.
綜合得；
（3）當即時，
由指數函數的性質可得:，解得,綜合得.
綜上可得所求范圍是.（.（
，∴，
故所求范圍是.（N，定點在軸上.
直線AN：，令得:
,
∴直線過定點.（
22.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設切點為，由題意得：
，即，
由（1）解得或.（代入（2）得：.
將代入（2）得： （3），
設，則，
所以在（0,2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，，所以方程（3）無實數解。（.
（Ⅱ）由得： （4），
由知：在（0,1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以, 的最小值為，
所以不等式（4）可化為：；（，，，
當，時，，所以；
當，1）時，，所以；
所以在上單調遞減，在[1，]上單調遞增,
所以，又，，
，又，所以，
所以，，
所以，當，時，恒成立時實數的取值范圍是[．（
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