2014
益陽一模文科
數學試題答案
絕密 ★ 啟用前
2014屆益陽市高三模擬考試
數 學（文史類）
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共頁。時量120分鐘。滿分150分。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，則等于
A． B．C． D．
2．已知為虛數單位，則等于
A．B．C．D．
3．某工廠有甲、乙、丙三類產品，其數量之比為，現要用分層抽樣的方法從中抽取件產品進行質量檢測，則乙類產品應抽取的件數為
A．B．C．D．
4．“方程有實數根”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
5．某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為
A． B． C．D．
6．若向量、滿足、，，則與的夾角為
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，
且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為
A．B．
C．D．
8．函數的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于
A．．
．．
9．已知函數，若存在正實數，使得方程在區間上有三個互不相等的實數根，，，則的取值范圍是
A． B． C．D．
10．已知點是平面區域內的動點，點，為坐標原點，設的最小值為若恒成立,則實數的取值范圍是
A．B．
C．D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
11．利用計算機產生之間的均勻隨機數，則事件“”發生的概率為________12．已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點極軸與軸的正半軸重合,且單位相同曲線的極坐標方程為，則該曲線的直角坐標方程 .
13．某程序框圖如右圖所示，則輸出的結果為 ．
14．的圖象恒過定
點A,若點A在直線上,其中,
則的最小值為_______.
15．某同學為了研究函數的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為的正方形和，點是邊上的一個動點，設，則．
1） ；
2）函數的零點個數是 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．本小題滿分12分
在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（）求的值；
（）若為的中點，求、的長.
17．（本小題滿分12分）
如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的投籃命中次數，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以表示.
（Ⅰ）如果乙組同學投籃命中次數的平均數為，求及乙組同學投籃命中次數的
方差；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數低于10次的同學中,各隨機選取一名，求這兩名同學的投籃命中次數之和為17的概率.
18．本小題滿分12分
如圖所示,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
∥,.
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在上找一點,使得∥平面ADEF,請確定M點的位置,并給出證明.
19．本小題滿分13分
已知等比數列各項都是正數，，，.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：.
20．本小題滿分13分
已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.
21．本小題滿分13分
設函數
（Ⅰ）若，求函數在上的最小值；
（Ⅱ）若函數在存在單調遞增區間，試求實數的取值范圍；
（Ⅲ）求函數的極值點.
2014屆益陽市高三模擬考試參考答案
一、選擇題（5分×10=50分）題號12345678910答案CDBBACBDDC二、填空題（5分×5=25分） 12、 13、
14、 15、(1) (2) 2
三、解答題（本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16.（本小題滿分12分）
解（）,故B為銳角 ………3分
所以 …6分
（2）,
，……………9分
又D為AB中點，所以BD=7
在三角形BCD中，由余弦定理得: ……………12分
17.（本小題滿分12分）
解：(1)依題意得:,解得,……………3分
方差. ……………6分（2）記甲組投籃命中次數低于10次的同學為,他們的命中次數分別為9,7.
乙組投籃命中次數低于10次的同學為,他們的命中次數分別為8,8,9.
,共6種. ……9分
設“這兩名同學的投籃命中次數之和為17”為事件C，則C中恰含有共2種.
.……………12分
18.（本小題滿分12分）
解：（）面，面面.
,,.
取.
設,
,,
從而.…………4分（2） 即為CE與面BDE所成的角.
中,,
. ……8分（）D，∴BP∥面ADEF，M、P分別為EC、DC的中點，∥，∴MP∥面ADEF，∴面BMP∥面ADEF，∴BM∥面ADEF.……………12分
19.（本小題滿分13分）
的公比為，由已知，
兩式相除得：，故，.…6分
（2）由（1）知，
……………9分，則，兩式相減得：
，，
，即.……………13分
解：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.……………4分
（2）由（1）知，.
由題意可設.
由消去,整理得:,
.,
(定值).……9分
(3)設.
若以為直徑的圓恒過的交點,
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.
……………13分
21.（本小題滿分13分）
解：（1）的定義域為，，在上增函數，當時，取得最小值，在上的最小值為.……………4分
（2）,設.
依題意,在區間上存在子區間使得不等式成立.
注意到拋物線開口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即實數取值范圍是.……………8分
（3），令。
1) 顯然，當時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點.
2) 當時，
①當即時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點.
②當即時，
當時，易知，這時；
當或時，易知，這時.
時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.
綜上，當時，函數沒有極值點；時，是函數的極大值點；是函數的極小值點. ……13分
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