2014
長春二模考試文科
數學試題答案（word版）僅供參考
數 學（文科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅱ卷考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1答題前，考生將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。
2選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選填涂在答題卡上）.
1．設集合，集合，則下列關系中正確的是
A．B．C．D．
2．設是虛數單位，則等于
A．B．C．D．
3．已知向量,,,若為實數，，則A．B．C．D．4．已知命題：函數的圖象恒過點；命題：若函數為偶函數，則 的圖像關于直線對稱，則下列命題為真命題的是
A．B．C．D．5．運行框圖輸出的是，則①應為A．B．
C．D．
6．以下四個命題：①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
②兩個變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于；
③在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高④對分類變量與的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“與有關系”的把握越大．其中真命題為
A．①④B．②④C．①③ D．②③
7．拋物線到焦點的距離為，則實數的值為
A．B．C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為
A． B．C． D．
9．設，則
A．B．C．D．
10．已知函數，則的圖象大致為
AB C D
11．已知直線與雙曲線交于兩點(不在同一支)，為雙曲線的兩個焦點則在
A．以為焦點的雙曲線上 B．以為焦點的橢圓上
C．以為直徑兩端點的圓上 D．以上說法均不正確
12．設函數是定義在上的可導函數，其導數為，且有，則不等式的解集為
A．B．C．D．（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分。第題為必考題，每個試題考生都必須答。第題為選考題，考生根據要求做答。二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.
13．在△中，三個內角，所對的邊分別為，，若 ，則 14．設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為 15．如圖，在長方體中，分別是棱，上的點（點與不重合），且∥，過的平面與棱，相交，交點分別為．設，，．在長方體內隨機選取一點，則該點取自于幾何體內的概率為
16．已知數列中,, ,,…= .
三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
17．（本小題滿分12分）已知為銳角，且，函數，數列 的首項，.
（1）求函數的表達式；（2）求數列的前項和.
18. （本小題滿分12分）
對某電子元件進行壽命追蹤調查，所得頻率分布直方圖如下.
（），并根據圖的數據分層抽樣抽取個元件，壽命之間的應抽取幾個（）從（）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件恰好有一個壽命之間，一個壽命之間”的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．
（1）證明：平面；求點到平面的距離.20．（本小題滿分12分）如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于兩點，且、、三點互不重合．
求橢圓的方程；求證：直線的斜率之和為定值．21．（本小題滿分12分）已知函數在處切線為.
（1）求的解析式；
（2）設，，，表示直線的斜率，求證：.
請考生在22、23、24三題中任選一題做作，如果多做，則按所做的第一題記分.
22．（本小題滿分1分）如圖，是圓的直徑，是延長線上的一點，是圓的割線，過點作 的垂線，交直線于點，交直線 于點，過點作圓的切線，切點為.
（1）求證:四點共圓；若,求的長.23．（本小題滿分1分）已知直線的參數方程為為參數)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．
求圓的方程；
若是直線與圓面的公共點，求的取值范圍．24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講設函數.
（1）若不等式的解集為，求的值；
（2）若存在，使，求的取值范圍.
【解析】：，或，則，故選
2．【答案】：
【解析】：，故選
3．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，
故選
4．【答案】：
【解析】：函數的圖象可看成把函數的圖象上每一個點的橫坐標向左平移一個單位得到，而的圖象恒過，所以的圖象恒過，則為假命題；若函數為偶函數，即的圖象關于軸對稱，的圖象即圖象整體向左平移一個單位得到，所以的圖象關于直線對稱，則為假命題；參考四個選項可知，選
5．【答案】：
【解析】：由程序框圖算法可知，……，由于輸出，即，解得，故①應為“？”，故選
6．【答案】：
【解析】：①應為系統（等距）抽樣；②線性相關系數的絕對值越接近1，兩變量間線性關系越強；③在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高；④．
7．【答案】：
【解析】：由拋物線方程及點可知，拋物線，排除，，又到焦點的距離為，且該拋物線準線方程為，所以，解得，故選
8．【答案】：
【解析】：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個沿旋轉軸作截面，截取的半個圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長為，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐的側面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，故選
9．【答案】：
【解析】：易知，，又，所以，∴，∴，故選
10．【答案】：
【解析】：，令，則，在同一坐標系下作出兩個函數的簡圖，根據函數圖象的變化趨勢可以發現與共有三個交點，橫坐標從小到大依次設為，在區間上有，即；在區間有，即；在區間有，即；在區間有，即.故選
11．【答案】：
【解析】：不妨設雙曲線焦點在軸上，方程為（＞0，＞0），分別為雙曲線的左、右焦點，且，分別在左、右支上，由雙曲線定義：，，則，由橢圓定義可知，在以、為焦點的橢圓上.故選
12【答案】：
【解析】：由，得： ，令，則當時，，即在是減函數，
，，由題意：＞
又在是減函數，∴，即，故選
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：作出可行域如圖，令，
則，作出目標直線，經過平移，
當經過點時，取得最大值，聯立
得，代入得，∴
15. 【答案】：
【解析】：因為∥，則∥，所以∥平面，過的平面交于，則∥，所以易證明幾何體和是等高的五棱柱和三棱柱，由幾何概型可知，長方體內任一點取自幾何體內的概率.
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
17．【解析】：
（）由， 是銳角，
. ………6分
（）， （常數） ………8分
是首項為,公的等數列, . ………12分
18.【解析】：
（1）根據題意：
解得 ………………………………2分之間的應抽取個，根據分層抽樣有：
………………………4分
所以壽命落在之間的元件應抽取個 ……………………………6分之間，一個壽命為之間”為事件，易知，壽命落在之間的元件有個，分別記，落在之間的元件有個，分別記為：，從中任取個元件，有如下基本事件：，，共有個基本事件. ………9分 “恰好有一個壽命落在之間，一個壽命為之間”有：
，，共有個基本事件………10分 ……………………………11分之間，一個壽命為之間”的概率為 . ………………12分19.【解析】：
(1) 證明：由題意， ∥， =
∴四邊形為平行四邊形，所以.
又∵， ∴∥
又平面，平面 ∴∥平面 ………4分∥平面，又
∴平面∥平面. …………6分求到平面的距離為.
因為V三棱錐A-PCD V三棱錐-ACD
即
. ………12分20.【解析】：
由題意，可得，
得，，分
解得，，，
所以橢圓的方程.分
()證明設直線的方程為，三點不重合，∴，設，，
由得
所以
② ………8分設直線的斜率分別為，
則 (*) ………10分
將①、②式代入()，
整理得，
，即直線的斜率之和為定值分，，∴由得 ………3分代入得，即，∴
∴. ………5分∴證明即證
各項同除以，即證 ………8分，則，這樣只需證明即
設,,
∵，∴，即在上是增函數
∴，即 ………10分，
∴在也是在增函數
，即
從而證明了成立，所以成立. ………12分等價于
即 …………8分
先證，
問題等價于，即
設，則
∴在上是增函數，
∵，∴，∴，
得證. …………10分
再證，
問題等價于，即
設，則
∴在上是減函數，
∵，∴，∴，
得證.
綜上，. …………12分
22.【解析】：
（1）證明：連結，∵是圓的直徑，
∴
在和中，
又∵ ∴
∴四點共圓分四點共圓
∵是圓的切線，∴ ∴
又因為 ∴
∴. ………………………10分23．【解析】：（1）因為圓的極坐標方程為
又
所以
所以圓的直角坐標方程為：. …………………5分
由圓的方程
所以圓的圓心是，半徑是
將代入得 …………………8分直線，圓的半徑是，由題意有：
所以
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