2014
長春二模考試理科
數學試題答案（word版）
數 學（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅱ卷考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1答題前，考生將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。
2選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選填涂在答題卡上）.
1設集合，集合，則下列關系中正確的是
A．B．C．D．
2設是虛數單位，則等于
A．B．C．D．
3．,,,若為實數，，則的值為
A．B．C．D．：函數的圖象恒過定點；命題：若函數為偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，則下列命題為真命題的是
A．B．C． D.
5. 運行如圖所示的程序框圖，若輸出的是，則①應為
A． B． C．D．
6．以下四個命題中：
①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于；③在某項測量中，測量結果服從正態分布若內的概率為，則內的概率為；④對分類變量與的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，與有關系的把握越大其中真命題的為
A．①④B．②④C．①③D．②③
．和直線，拋物線上一動點到直線
和直線的距離之和的最小值是
A．B．C．D．．計劃排球、籃球、球個項目的比賽在個不同的體育館舉辦，每個項目的比賽只能安排在一個體育館進行，則在同一個體育館比賽的項目不超過個的安排方案共有
A．種B．種C．種D．種某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為A．B．C．D．．，則的圖象大致為
11.已知直線與雙曲線交于，兩點(，在同一支上),為雙曲線的兩個焦點,則在
A．以，為焦點的橢圓上或線段的垂直平分線上
B．以，為焦點的雙曲線上或線段的垂直平分線上
C．以為直徑的圓上或線段的垂直平分線上
D．以上說法均不正確
12．設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集為
A．B．C．D．（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分。第題為必考題，每個試題考生都必須答。第題為選考題，考生根據要求做答。二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.
13,則= .
14．設的展開式的常數項為，則直線與曲線圍成圖形的面積為 .
15．用一個邊長為的正三角形硬紙，沿各邊中點連線垂直折
起三個小三角形，做成一個蛋托，半徑為的雞蛋（視為
球體）放在其上（如圖），則雞蛋中心（球心）與蛋托底
面的距離為 .
16．已知數列中,,,,
則……= .
三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
17．（本小題滿分12分）
已知為銳角，且，函數，數列的首項，.
（1）求函數的表達式（2）求數列的前項和（本小題滿分12分）小型風力發電一類風區二類風區平均風速m/s8.5106.5～8.5假設投資A項目的資金為（≥0）萬元，投資B項目資金為（≥0）萬元，調研結果是：未來一年內，位于一類風區的A項目獲利的可能性為，虧損的可能性為；位于二類風區B項目獲利的可能性為，虧損的可能性是，不賠不賺的可能性是.
（1）A，B和，試寫出隨機變量與的分布列和期望，；
（2）某公司計劃用不超過萬元的資金投資于AB項目且公司要求對A項目的投B項目,根據（1）的條件和市場調研，試估計一年后兩個項目的平均利
潤之和的最大值．
19．（本小題滿分12分）如圖，，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．
（1）證明：平面；
求與平面所成銳二面角的余弦值.
20．（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上 （）求橢圓方程；
（）點在圓上，在第一象限，過作圓的切線交橢圓于兩點，問的周長是否為定值？如果是，求出定值如不是，說明理由（本小題滿分12分）．
（1）求的單調區間和極值；
（2）設，，且，證明：.
請考生在22、23、24三題中任選一題做作，如果多做，則按所做的第一題記分.
22（本小題滿分1分）如圖，是圓的直徑，是延長線上的一點，是圓
的割線，過點作的垂線，交直線于點，交直線
于點，過點作圓的切線，切點為.
（1）求證四點共圓；（2）若,求的長.23．（本小題滿分1分）已知直線的參數方程為為參數)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．
（1）的直角坐標方程；
（2）若是直線與圓面的公共點，求的取值范圍．
（本小題滿分1分）.
（1）的解集為，求的值；
（2），使，求的取值范圍.
1．【答案】：
【解析】：，或，則，故選
2．【答案】：
【解析】：，故選
3．【答案】：
【解析】：函數的圖象可看出先把函數的圖象上每一個點的橫坐標向左平移一個單位，再將所得圖象沿軸作翻折，最后再將所有點的坐標向上平移個單位得到，而的圖象恒過，所以的圖象恒過，因此為假命題；若函數為偶函數，即圖象關于軸對稱，的圖象即整體向左平移一個單位得到，所以的圖象關于直線對稱，因此為假命題；參考四個選項可知，選
4．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，故選
5．【答案】：
【解析】：由程序框圖算法可知，……，由于輸出，即，解得，故①應為“”，故選
6．【答案】：
【解析】：①應為系統（等距）抽樣；②線性相關系數的絕對值越接近1，兩變量間線性關系越密切；③變量，；④ 隨機變量的觀測值越，判斷“與有關系”的把握越大．
7．【答案】：
【解析】：由題可知是拋物線的準線，設拋物線的焦點為，則動點到的距離等于，則動點到直線 和直線的距離之和的最小值，即焦點到直線的距離，所以最小值是，故選
8．【答案】：
【解析】：若個項目分別安排在不同的場館，則安排方案共有種；若有兩個項目安排在同一個場館，另一個安排在其他場館，則安排方案共有種；所以在同一個體育館比賽的項目不超過2個的安排方案共有
9．【答案】：
【解析】：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個沿旋轉軸作截面，截取的半個圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長為，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐的側面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，故選
10．【答案】：
【解析】：，令，則，在同一坐標系下作出兩個函數的簡圖，根據函數圖象的變化趨勢可以發現與共有三個交點，橫坐標從小到大依次設為，在區間上有，即；在區間有，即；在區間有，即；在區間有，即.故選
11．【答案】：
【解析】：當直線垂直于實軸時，則易知在的垂直平分線上；當直線不垂直于實軸時，不妨設雙曲線焦點在軸，分別為雙曲線的左、右焦點，且、都在右支上，由雙曲線定義：，，則，由雙曲線定義可知，在以、為焦點的雙曲線上，故選
12.【答案】：
【解析】：由，得：，即，令，則當時，，即在是減函數， ，，，
在是減函數，所以由得，，即，故選
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：，令，∴，所以直線為與的交點為和，∴直線與曲線圍成圖形的面積
15.【答案】：
【解析】：由題意可知蛋槽的高為，且折起三個小三角形頂點構成邊長為的等邊三角形，所以球心到面的距離，∴雞蛋中心與蛋巢底面的距離為
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
所以……=
17【解析】：
（）由， 是銳角，
（）， , （常數）
是首項為,公比的等比數列,
18.【解析】：
（1）A項目投資利潤的分布列
P
B項目投資利潤的分布列
0P …………………………………………………………………6分
(2)由題意可知滿足的約束條件為 ………………9分
由(1)可知，
當，取得最大值15.
∴對A、B項目各投資50萬元，可使公司獲得最大利潤，最大利潤是15萬元.…………12分
19.【解析】：
(1) 證明： 且∥，…………2分平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
…………6分、交于點，連結，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點，方向為軸，以平面內過點且垂直于方向為軸以方向為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.
則，，，
，，…………8分，，
可求得平面的法向量為
又，，
可求得平面的法向量為
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為. …………12分：
（1）右焦點為
左焦點為，點在橢圓上
，
所以橢圓方程為5分
（2）
∴…………11分
∴（定值）…………12分
『解法2』：
設 ，
8分
連接，由相切條件知：
………………………………10分
同理可求
所以為定值12分
令則 ∴；令則 ∴
∴的單調增區間是，單調減區間是
極小值，無極大值
（2）證明：不妨設，
兩邊同除以得，
令，則，即證：
令
令，
， 在上單調遞減，所以
即，即恒成立
∴在上是減函數，所以
∴得證
所以成立
22.【解析】：
（1）證明：連結，∵是圓的直徑，
∴，
在和中，
又∵ ∴
∴四點共圓四點共圓
∵是圓的切線，∴ ∴
又因為 ∴
∴
22.【解析】：（1）因為圓的極坐標方程為
又
所以
所以圓的普通方程
（2）『解法1』：
設
由圓的方程
所以圓的圓心是，半徑是
將代入得
又直線，圓的半徑是，所以
所以
即的取值范圍是
『解法2』：
直線的參數方程化成普通方程為：…………6分
由，
解得，…………8分
∵是直線與圓面的公共點，在線段上，
∴的最大值是，
最小值是
∴的取值范圍是…………10分
24.【解析】：
由題意可得可化為，
，解得.
（2）令，
所以函數最小值為，
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