2014年
宜昌二調考試理科
數學試題答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設全集，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
3．下列說法正確的是（ ）
A．若已知兩個變量具有線性相關關系，且它們正相關，則其線性回歸直線的斜率為正
B．直線垂直于平面的充要條件為垂直于平面內的無數條直線
C．若隨機變量，且，則
D．已知命題，則
4．已知中心在原點的雙曲線，其右焦點為，且到其中一條漸近線的距離為，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
5．一個多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正方形，側視圖是等腰三角形，則該幾何體的表面積為（ ）
A．158 B．108 C．98 D．88
6．已知不等式的解集為，則二項式展開式的常數項是（ ）
A．-15 B．15 C．-5 D．5
7．若函數的圖象向右平移個單位后與函數的圖象重合，則的值可能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
8．設點是區域內的隨機點，函數在區間上是增函數的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知是非零向量，它們之間有如下一種運算：，其中表示的夾角．給出下列命題：
①；②；③；
④；⑤若，則，其中真命題的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知直線和圓，點在直線上，為圓上兩點，在中，，過圓心，則點的橫坐標的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應題號的位置上．答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．
（一）必考題（11—14題）
11．直線的傾斜角為，則的值為 ．
12．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是 ．
13．一物體在力（單位：）的作用下，沿著與力相同的方向，從處運動到處（單位：），則力所做的功為 ．
14．數列的前項組成集合，從集合中任取（）個數，其所有可能的個數的乘積的和為（若只取一個數，則規定乘積為此數本身），記．例如：
當時，；
當時，．
則，（1） ；（2） ．
（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你多選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題做答結果計分．）
15．（選修4—1：幾何證明選講）如圖，在中，是的平分線，的外接圓交于點，，則的長為 ．
16．（選修4—4：坐標系與參數方程）在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若點為直線上一點，點為曲線（為參數）上一點，則的最小值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）在中，三個內角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值．
18．（本小題滿分12分）數列的前項和記為．
（1）當為何值時，數列是等比數列；
（2）在（1）的條件下，若等差數列的前項和有最大值，且，又、、成等比數列，求．
19．（本小題滿分12分）某公司從某大學招收畢業生，經過綜合測試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業生的測試成績如莖葉圖所示（單位：分），公司規定：成績在180分以上者到“甲部門”工作，180分以下者到“乙部門”工作，另外只有成績高于180分的男生才能擔任“助理工作”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“甲部門”人選和“乙部門”人選中選取8人，再從這8人中選3人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？
（2）若從所有“甲部門”人選中隨機選3人，用表示所選人員中能擔任“助理工作”的人數，寫出的分布列，并求出的
數學期望．
20．（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，，平面，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）在上是否存在一點，使得，若存在，試確定的位置，并求此時二面角的大小．
21．（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為2，且與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左、右頂點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點（在的右側），直線相交于點，求證：點在一條定直線上．
22．（本小題滿分14分）已知函數．
（1）當，求函數的圖象在處的切線方程；
（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（3）已知均為正實數，且，求證：
．
宜昌市201屆高12345678910答案DCABDBACBD10、設，則圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得．解得
二、填空題
11、 12、 13、 14、（1）（2） 15、 16、
三、解答題
17、（Ⅰ）由正弦定理
即 3分
由余弦定理得 ∵ ∴ 5分
（Ⅱ）由（1）得
則 7分
10分
∵ ∴
∴當即時，有最大值 12分
18、（）由，可得，
兩式相減得
∴當時，是等比數列
要使時，是等比數列，則只需，從而．
（）設的公差為，由得，于是
故可設，又，
由題意可得
解得
∵等差數列的前項和有最大值，∴
∴．
19、（Ⅰ）用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率為
根據莖葉圖，甲部門人選人，乙部門人選人
∴選中的甲部門人選有人，乙部門人選有人 3分
用表示“至少有一名甲部門人選被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名甲部門人選被選中”，則
故至少有一人是“甲部門”人選的概率是 5分
（Ⅱ）依題意，所選畢業生中能擔任“助理工作”的人數的取值分別為 6分
10分
∴的分布列為
∴ 12分
20、（Ⅰ）∵ ∴四邊形為正方形 ∴ 2分平面 ∴ ∴面 ∴ 4分中，
∴平面 5分，
∵為的中點，且 ∴
又∵平面 ∴
∴
在中，由余弦定理得
即
∴ 即是的中點 9分
∵、分別為、的中點 ∴
∵平面 ∴平面
又∵平面 ∴平面平面 11分
故二面角的大小為 12分
21、（Ⅰ）∵橢圓的焦距為 ∴ 且
于是橢圓方程為
將代入得 2分
∵直線與橢圓相切 ∴
即 ∵ ∴ 則
故所求橢圓方程為 4分
（Ⅱ）由題意可設直線的方程為
聯立方程得
∵直線與橢圓交于兩點
∴
由韋達定理得 6分
則
又在的右側 ∴ 8分 ∴
設直線、相交于點 由上面兩直線方程消去得
12分在定直線上。 13分時， 則
則
∴函數的圖像在時的切線方程為 3分在上單調遞增 ∴在上無解
當時，在上無解滿足
當時，只需 ∴ ① 5分
∵函數在上單調遞增 ∴在上恒成立
即在上恒成立
設
∵ ∴ 則在上單調遞增
∴在上的值域為 7分在上恒成立 則 ②
綜合①②得實數的取值范圍為 9分（）時，在上單調遞增 10分時，
當時， 12分 即，
同理有，
三式相加得 14分
數學學習 http://www.gzdwyxj888.com/math/
