2014
東城一模考試文科
數學試題答案
東城區2013-2014學年度第二學期教學檢測
學校_____________班級_________姓名__________考號__________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題部分（共40分）
一 、選擇題： 本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．設全集U={1，2，3，4，5，6} ，設集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，則P∩（CUQ）=
A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}
C.{1，2，5} D.{1,2}
2. 在某次測量中得到的A樣本數據如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B樣本數據恰好是A樣本數據都加6后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是
A. 眾數 B..平均數 C.中位數 D.標準差
3. 已知i是虛數單位，若,則z的共軛復數為
A 1-2i B 2-4i C D 1+2i
4．設是直線，a，β是兩個不同的平面,
A. 若∥a，∥β，則a∥β B. 若∥a，⊥β，則a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，則⊥β D. 若a⊥β, ∥a，則⊥β
5． 函數的最大值與最小值之差為
A B. 4 C. 3 D.
6．“是函數在區間內單調遞增”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
7．已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線
的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為
A. B. C. D.
8．已知，且
，現給出如下結論：
①；②；③；④.
其中正確結論的序號是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
非選擇題部分（共110分）
二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 已知變量x、y滿足條件則的最大值是______.
10. 經過圓的圓心，且與直線垂直的直線
方程是 ．
11. 曲線在點（0,1）處的切線方程為 .
12. 在數列， ，
13. 已知平面向量，．若，
則_____________．
14. 定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知
曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距
離，則實數a=_______.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分12分）
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面積.
16. （本題滿分14分）
如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，
∠PAC=∠PBC=90 o
（Ⅰ）證明:：AC=BC；
（Ⅱ）證明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若，且平面⊥平面，
求三棱錐體積.
17. （本題滿分13分）
一汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位:輛):
轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(Ⅰ) 求z的值；
(Ⅱ) 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；
(Ⅲ) 用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
18．設函數
（Ⅰ）設，，證明：在區間內存在唯一的零點；
（Ⅱ）設，若對任意，有，求的取值范圍．
已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設為坐標原點，點分別在橢圓和上，，求直線的方程．
m的有窮數列數集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數列是的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5.
（Ⅰ）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，
寫出所有的；
（Ⅱ）設是的控制數列，滿足（C為常數，k=1,2,…,m）.求證：（k=1,2,…,m）.
東城區2013-2014學年度第二學期教學檢測
一 、選擇題：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C.
二、填空題: 9. 6; 10.; 11. ;
12. ; 13. ; 14.
三、解答題：
15.（本題滿分12分）
（Ⅰ）bsinA=acosB，
由正弦定理可得，
即得，. . ………………5分
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，
由余弦定理，，
解得，.
△ABC的面積= ………………12分
16. （本題滿分14分）
（Ⅰ）因為是等邊三角形，,
所以,可得.
………………3分
（Ⅱ）如圖，取中點，連結,,
則,,
所以平面,
所以. ．．．．．．7分
(Ⅲ)作，垂足為，連結．
因為，
所以，．
由已知，平面平面，故．
因為，所以都是等腰直角三角形。
由已知，得， 的面積．
因為平面，
所以三棱錐的體積 ．．．．．．14分
17. （本題滿分13分）
: (Ⅰ).設該廠本月生產轎車為n輛,由題意得,,
所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分
(Ⅱ) 設所抽樣本中有m輛舒適型轎車,
因為用分層抽樣, 所以,解得m=2,
即抽取了2輛舒適型轎車, 3輛標準型轎車,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,
則從中任取2輛的所有基本事件為(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10個,
其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為. ．．．．．．9分
(Ⅲ)樣本的平均數為,
那么與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數為9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0這6個數,總的個數為8,
所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率為.. ．．．．．．13分
18．（）當
．
又當，
．
（）當時，．
對任意上的最大值 與最小值之差,據此分類討論如下：
（），．
（），
．
（），
．
綜上可知，．（）由已知可設橢圓的方程為，
其離心率為，故，則．
故橢圓的方程為． ．．．．．．5分
（）兩點的坐標分別為，
由及（）知，三點共線且點不在軸上，因此可設直線的方程為．
將代入中，得，
所以，
將代入中，得，
所以，
又由，得，即．
解得，故直線的方程為或．
為：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5,； 2, 3, 4, 5,；2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5,，
，
所以.
因為，，
所以，即.
因此，. ……13分
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