2014年葫蘆島市高三第一次模擬考試
參考答案及評分標準
一.選擇題:每小題5分,總計60分
題號123456789101112答案ACBBBCCDDAAD二.填空題:每小題5分,總計20分.
13. 2414. 15. 16. 2三.解答題:
17.解：設等差數列的首項為,公差為,
由解得因此)n-1.則Tn=c1+c2+…+cn
∴①
② ---------------------6分
①—②,得
---------------10分
所以 --------12分
18.(本小題滿分12分)
（Ⅰ）證明：因為四邊形是菱形，
所以 . ……………… 1分
因為平面平面，且四邊形是矩形，
所以 平面， ……………… 2分
又因為 平面，
所以 . ……………… 3分
因為 ，
所以 平面. ……………… 4分
（Ⅱ）解：設，取的中點，連接，
因為四邊形是矩形，分別為的中點，
所以 ，
又因為 平面，所以 平面，
由，得兩兩垂直.
所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間
直角坐標系. ……………… 5分
因為底面是邊長為2的菱形，，，
所以 ，，，，，. ………………6分
因為 平面，
所以平面的法向量. …………7分
設直線與平面所成角為，
由 ，
得
，
所以直線與平面所成角的正弦值為. ………………9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.
設平面的法向量為，
所以 ………………10分
即
令，得. ………………11分
由平面，得平面的法向量為，
則. …………13分
由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的大小為. ………………14分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）記“從10天的PM2.5日均監測數據中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件，1分
=………………………………………4分
（Ⅱ）依據條件，服從超幾何分布：其中，的可能值為，其分布列為： (k=0,1,2,3)…………………………6分
P……………………8分
（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為，
一年中空氣質量達到一級或二級的天數為，則
∴EY=366×0.7≈256
∴一年中平均有2天的空氣質量達到一級或二級分
=3
又∵c=1
∴b2=3 a2=4
∴橢圓C的方程為：+=1………………………………………………………4分
（2）當直線l與x軸垂直時，直線l即為y軸，此時A(0,-)、B(0,)
|PA|=3-,|PB|=3+ 由題意：=+ 解得：|PC|=
∴C（0，-3）
(2) 當直線l與x軸不垂直時，設直線的方程為y=kx-3.
與橢圓方程+=1聯立并消元整理得：（4k2+3)x2-24kx+24=0 ………………①
Δ=(24k)2-4(4k2+3)×24=96(2k2-3)>0 ∴k2>
設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1,x2是方程①的兩個解，由韋達定理得：
x1+x2=,x1x2=
|PA|2=x12+(y1+3)2=x12+(kx1-3+3)2=(1+k2)x12
|PB|2=x22+(y2+3)2=x22+(kx2-3+3)2=(1+k2)x22
|PC|2=x2+(y+3)2=x2+(kx-3+3)2=(1+k2)x2
由題意：=+
∴=+
即=+===
∴x2=
又∵點C在直線上，∴y=kx-3 k= 代入上式并化簡得：8（y+3)2-3x2=24
即-=1
∵k2> ∴00 ∴h(x)在[0，+∞）上單調遞增
∴h(x)≥h(0)=0 即(((x)≥0 ∴((x)在[0，+∞）上單調遞增
∴((x)≥((0)=0 ∴f(x)≥g(x) ∴當k≤0時不合題意；
③當00,當x∈(0,)時，h(x)單調遞增，
∴h(x)>0 即(((x)>0 ∴((x)在(0,)上單調遞增 ∴((x)>0
即f(x)>g(x) ∴不合題意
綜上，k的取值范圍是[,+∞)
(3)由（2）知（取k=):(1+x)ln(1+x)≤x2+x;
變形得：ln(1+x)≤==((1+x)-
取x=n-1 得:lnn≤(n-) 即：+2lnn≤n
∴+2ln1≤1
+2ln2≤2
+2ln3≤3
…
+2lnn≤n
以上各式相加得：（+++…+）+2（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≤1+2+…+n
即：Sn+2lnn!≥
22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
，則，又，
則，即，
則、、、四點共圓.……………5分
(2)由直角三角形的射影原理可知，
由與相似可知：，
，，
則，即.……………………10分
23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程（）原不等式等價于
或………3分
解，得即不等式的解集為 ………5分
（） …………8分 。 ……………10分
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