命題：汪紅兵 審稿與校對：梅開萍、楊波
參考公式：
·如果事件、互斥，那么．
·表示底面積，表示底面的高，柱體體積 ，，錐體體積 ．
一、選擇題：共8小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．學
1.已知全集U＝R，集合,則∩(?U B)＝( )
A．(,1) B．C．D． (0,)
2. 設、，若，則下列不等式中正確的是
A． B． C． D．
是等差數列,若則數列前8項和為（ ）
A．128 B.80 C.64 D.56
4.已知函數則函數的零點為
A．．．．
5.給出下列三個結論：
（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題；
（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”；
（3）命題“”的否定是“ ”.則以上結論正確的個數為
A． B． C． D．
的最小正周期是，若其圖象向右平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數的圖象
A．對稱B．對稱
C．D．對稱
7. 已知向量與的夾角為,且,若,且,則實數的值為
8. 設，，為整數（m>0），若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中1～15題是選做題，考生只能選做題，題全答的，只計算前題得分．
某中學為了解學生
數學課程的學習情況，在3 000名學生中隨機抽取200名，并統計這200名學生的某次
數學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據頻率分布直方圖推測，這3 000名學生在該次
數學考試中成績小于60分的學生數是________．
（第9題） （第10題）
10.某幾何體的三視圖如，則它的體積是________．
的展開式中x3的項的系數是＿＿＿＿（用數字作答）。
12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，
A∪B＝R，則的最小值為＿＿＿＿
13. 請閱讀下列材料：若兩個正實數滿足（不必證明）
14.(坐標系與參數方程選做題)[來已知直線為參數且）與(是參數且)，則直線與的交點坐標為 .
15.（幾何證明選講選做）如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，則BC的長為 ．
16．（本小題滿分12分）已知，．
⑴ 求的最小正周期；
⑵ 設、，，，求的值．
，據此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求成績在區間的頻率；
（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選3名學生，其中成績在[90，100]內的學生人數為ξ，求ξ的分布列與均值.
18. （本小題滿分14分）
如圖所示的多面體中， 是菱形，是矩形，平面，，．
(1) 求證：平面；
() 若二面角為直二面角求直線與平面所成的角的正弦值
19．（本小題滿分14分）
如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|． (1)求橢圓方程；
(2) 在橢圓E上是否存點Q，使得？若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標），若不存在，請說明理由．（3）的兩條
切線，切點分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．
20．（本小題滿分14分）
已知函數
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求的極值；
若函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，求實數的取值范圍
21．（本小題滿分14分）
已知數列中，，且．為數列的前項和，且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項的和；
（3）證明對一切，有．
參考答案
選擇題：每小題5分，共40分.
序號12345678答案ABCDD B D A
二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9.600 10. 8－;
13. 14．（1，3） .
三. 解答題：
16. 解：⑴……2分，……4分，
的最小正周期⑵因為，，……6分，
所以，……7分，
，，……8分，
因為，所以，……9分，
所以……10分，
……11分，
……12分。
17. 解：（1）因為各組的頻率之和為1，所以成績在區間的頻率為
， …………………3分
（2）由已知和（1）的結果可知成績在區間內的學生有人，
成績在區間內的學生有人，…………………4 分
依題意，ξ可能取的值為0，1，2，3 …………………5 分
所以ξ的分布列為
ξ0123P
............................................................................10分
則均值Eξ= ...............................12分
18.（本小題滿分14分）
（1）矩形中，--------1分
平面，平面,平面，-2分
同理平面,-------3分
又u平面∥平面------4分
（2）取的中點.
由于面, ∥,
又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，
所以，就是二面角的平面角-------8分
解法1（幾何方法）：
延長到，使,由已知可得，是平行四邊形，又矩形，所以是平行四邊形，共面，由上證可知， ，,相交于，平面為所求.
由,,得
等腰直角三角形中，,可得
直角三角形中,
解法2幾何方法）：由，，得平面，欲求直線與平面所成的角，先求與所成的角. ------12分
連結，設則在中，，，用余弦定理知 ---14分
解法3（向量方法）：以為原點，為軸、為軸
建立如圖的直角坐標系，由則，
，平面的法向量， -------12分
. ---14分
19．解：(1)，則A(2，0)，設橢圓方程為-----------------------分 由對稱性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形∴點C的坐標為(1，1)點B的坐標為(－1，－1) ---------------------4分將C的坐標(1，1)代入橢圓方程得 ∴所求橢圓方程為---------------------------------分
在橢圓E上存點Q，使得，則
即點Q在直線上，-----------------------------------------------------------7分∴點Q即直線與橢圓E的交點，
∵直線過點，而點橢圓在橢圓E的內部，
∴滿足條件的點Q存在，且有兩個．------------------------------------------------------9分在橢圓E上存點Q，使得，則
即，--------①-------------------------------------------------7分Q在橢圓E上，∴，-----------------②
由①式得代入②式并整理得：，-----③
∵方程③的根判別式，
∴方程③有兩個不相等的實數根，即滿足條件的點Q存在，且有兩個．---------------9分，由M、N是的切點知，,
∴O、M、P、N四點在同一圓上，------------------------------------------10分OP,則圓心為，
其方程為，------------------------------11分-----④
即點M、N滿足方程④，又點M、N都在上，
∴M、N坐標也滿足方程---------------⑤
⑤-④得直線MN的方程為分得，令得，----------------------------------13分∴，又點P在橢圓E上，
∴，即=定值.-----------------------------------14分則----------10分化簡得--------------④
同理可得直線PN的方程為---------------⑤-------------------11分⑤得
∴直線MN的方程為分得，令得，--------------------------------------------13分∴，又點P在橢圓E上，
∴，即=定值．---------------------------------------------14分，且．
又，．
在點處的切線方程為：，
即． ……………………… 4分
（2）的定義域為，， 令．
當時，，是增函數；
當時，，是減函數；
在處取得極大值，即． ……… 8分
（3）（i）當，即時，
由（Ⅱ）知在上是增函數，在上是減函數，
當時，取得最大值，即．
又當時，，
當時，，當時，，
所以，的圖像與的圖像在上有公共點，
等價于，解得，又因為，所以．
（ii）當，即時，在上是增函數，
在上的最大值為，
原問題等價于，解得，又 無解
綜上，的取值范圍是． ……………… 14分
21．解：（1）由已知得，，，
由題意，即， 當n為奇數時，；當n為偶數時，.
所以. …………4分
（2）解法一：由已知，對有，
兩邊同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又時也成立，故，.
所以， ………8分
解法二：也可以歸納、猜想得出，然后用
數學歸納法證明．
（3）當，有，
所以時，有
=.
當時，. 故對一切，有. ………14分
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