一.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 若集合 ， ，則 .
2. 設 、 是平面內兩個不平行的向量，若 與 平行，則實數 .
3. 在△ 的內角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，若 ， ， ，則 .
4. 在 的展開式中，若第 項的系數為 ，則 .
5. 若圓 的圓心到直線 （ ）的距離為 ，則 .
6. 函數 的反函數 .
7. 已知橢圓 的左、右兩個焦點分別為 、 ，若經過 的直線 與橢圓相交于 、 兩點，則△ 的周長等于 .
8. 數列 中，若 ， （ ），則 .
9. 若函數 ，則不等式 的解集為 .
10．【文科】如圖，正四棱柱 的底面邊長 ，若異面直線 與
所成的角的大小為 ，則正四棱柱 的側面積為 .
【理科】如圖，正四棱柱 的底面邊長 ，若直線 與底面
所成的角的大小為 ，則正四棱柱 的側面積為 .
11. 【文科】在數列 中， ， （ ），則數列 的前 項和 .
【理科】數列 的前 項和為 ，若 （ ），則 .
12. 已知全集 ，在 中任取四個元素組成的集合記為 ，余下的四個元素組成的集合記為 ，若 ，則集合 的取法共有 種.
13. 【文科】若函數 ，則 .
【理科】正三角形 的三個頂點都在半徑為 的球面上，球心 到平面 的距離為 ，點 是線段 的中點，過 作球 的截面，則截面面積的最小值為 .
14.已知函數 ，若方程 有且僅有兩個解，則實數 的取值范圍是 .
二．選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15.若 和 都是定義在 上的函數，則“ 與 同是奇函數或偶函數”是“ 是偶函數”的………………………………………………………………（ ）
充分非必要條件. 必要非充分條件.
充要條件. 既非充分又非必要條件
16. 若 和 均為非零實數，則下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）
. .
. .
17.將函數 的圖像向右平移 個單位，再向上平移 個單位后得到的函數對應的表達式為 ，則函數 的表達式可以是………………………………………（ ）
. . . .
18. 若 ( )是 所在的平面內的點，且 .
給出下列說法：
① ；
② 的最小值一定是 ；
③點 、 在一條直線上；
④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.
其中正確的個數是…………………………………………………………………………（ ）
個. 個. 個. 個.
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
19. （本題滿分12分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.
已知點 ，點 在曲線 : 上.
（1）若點 在第一象限內，且 ，求點 的坐標；
（2）求 的最小值.
20. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
已知函數
（1）【文科】求函數 的值域，并寫出函數 的單調遞增區間；
【理科】求函數 的最大值，并指出取到最大值時對應的 的值；
（2）若 ，且 ，計算 的值.
21.（本題滿分14分） 本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.
如圖所示，一種醫用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體.開始輸液時，滴管內勻速滴下球狀液體，其中球狀液體的半徑 毫米,滴管內液體忽略不計.
（1）如果瓶內的藥液恰好 分鐘滴完，問每分鐘應滴下多少滴？
（2）在條件(1)下,設輸液開始后 （單位：分鐘），瓶內液面與進氣管的距離為 （單位：厘米），已知當 時， .試將 表示為 的函數.（注: ）
22. （本題滿分16分） 本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分 ，第3
小題滿分6分.
已知數列 中， ， ， .
（1）證明數列 是等比數列，并求數列 的通項公式；
（2）在數列 中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若 且 ， ，求證：使得 ， ， 成等差數列的點列 在某一直線上.
3.（本題滿分18分） 本大題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分 ，第3小題滿分8分.
定義在 上的函數 ，如果對任意 ，恒有 （ ， ）成立，則稱 為 階縮放函數.
（1）已知函數 為二階縮放函數，且當 時， ，求 的值；
（2）【文科】已知函數 為二階縮放函數，且當 時， ，求證：函數 在 上無零點；
【理科】已知函數 為二階縮放函數，且當 時， ，求證：函數 在 上無零點；
（3）已知函數 為 階縮放函數，且當 時， 的取值范圍是 ，求 在 （ ）上的取值范圍.
2013學年第一學期普陀區高三
數學質量調研卷評分標準
一.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. ； 6. （不標明定義域不給分）；
7. ； 8. ； 9. 10．32； 11.【文科】 （ ）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】 ； 14. ；
二．選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
題號 15 16 17 18
答案 A D C B
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
19. （本題滿分12分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.
【解】設 （ ）,
（1）由已知條件得 …………………………2分
將 代入上式，并變形得， ，解得 （舍去）或 ……………4分
當 時，
只有 滿足條件，所以點 的坐標為 ………………6分
（2） 其中 …………………………7分
（ ）…………10分
當 時， ……………………………………12分
（不指出 ，扣1分）
20. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
【解】（1） ………………2分
【文科】由于 ，所以函數 的值域為 ………4分
由 得
所以函數 的單調的增區間為 ， ………6分
（文科不寫 ，不扣分；不寫區間，扣1分）
【理科】由 得， ………4分
所以當 時， ，此時 ………6分
（2）由（1）得， ，即 ……………8分
其中 得 ………………10分
所以 ……………11分
………………13分
………………14分
21. （本題滿分14分） 本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.
【解】（1）設每分鐘滴下 （ ）滴，………………1分
則瓶內液體的體積 ………………3分
滴球狀液體的體積 ………………5分
所以 ，解得 ，故每分鐘應滴下 滴。………………6分
（2）由（1）知，每分鐘滴下 藥液………………7分
當 時， ，即 ，此時 ………10分
當 時， ，即 ，此時 ………13分
綜上可得 ………………14分
22. （本題滿分16分） 本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分 ，第3
小題滿分6分.
解：（1）將已知條件 變形為 ……1分
由于 ，則 （常數）……3分
即數列 是以 為首項，公比為 的等比數列……4分
所以 ，即 （ ）。……5分
（2）假設在數列 中存在連續三項成等差數列，不妨設連續的三項依次為 ， ， （ ， ），由題意得， ，
將 ， ， 代入上式得……7分
………………8分
化簡得， ，即 ，得 ，解得
所以，存在滿足條件的連續三項為 ， ， 成等比數列。……10分
（3）若 ， ， 成等差數列，則
即 ，變形得 ……11分
由于若 ， 且 ，下面對 、 進行討論：
① 若 ， 均為偶數，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；
② 若 為奇數， 為偶數，則 ，解得 ；
③ 若 為偶數， 為奇數，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；
④ 若 ， 均為奇數，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；……15分
綜上①②③④可知，只有當 為奇數， 為偶數時， ， ， 成等差數列，此時滿足條
件點列 落在直線 （其中 為正奇數）上。……16分（不寫出直線方程扣1分）
23. （本題滿分18分） 本大題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分 ，第3小題滿分8分.
解：（1）由 得， ………………2分
由題中條件得 ……………………4分
（2）【理科】當 （ ）時， ，依題意可得：
……6分
方程 或 ， 與 均不屬于 ……8分
當 （ ）時，方程 無實數解。
注意到
所以函數 在 上無零點。……10分
【文科】當 時， ，依題意可得：
。……6分
方程 或 ， 與 均不屬于 （ ）……8分
當 （ ）時，方程 無實數解。
注意到 ，所以函數 在 上無零點。…10分
（3）當 ， 時，有 ，依題意可得：
當 時， 的取值范圍是 …12分
所以當 ， 時， 的取值范圍是 。…14分
由于 …16分
所以函數 在 （ ）上的取值范圍是：
。…18分
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