惠州市2014屆高三第二次調研考試
數 學 (理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
參考公式： 球的體積公式：
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1．復數 的虛部為（ ）
2．設集合 ，集合 為函數 的定義域，則 （ ）
3．設 是等差數列 的前 項和， ,則 （ ）
4. 按右面的程序框圖運行后,輸出的 應為（ ）
5.“ ”是“直線 : 與 : 平行”的（ ）
充分不必要條件 必要不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
6． 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是 的圓，則這個幾何體的體積是 （ ）
7．采用系統抽樣方法從 人中抽取 人做問卷調查，為此將他們隨機編號為 , ，……， ，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為 .抽到的 人中，編號落入區間 的人做問卷 ，編號落入區間 的人做問卷 ，其余的人做問卷 .則抽到的人中，做問卷 的人數為 （ ）
8．已知函數 且函數 的零點均在區間 內，圓 的面積的最小值是（ ）
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．若向量 則 .
10. 若 ，則 = .
11. 已知變量 滿足約束條件 則 的最大值為 .
12. 若 展開式的常數項是 ，則常數 的值為 .
13．已知奇函數 則 的值為 .
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分。
14．（坐標系與參數方程選做題）已知點 是曲線 上任意一點，則點 到直線 的距離的最小值是________.
15.（幾何證明選講選做題）如圖， 是圓 的直徑
延長線上一點， 是圓 的切線， 是切點， ，
， ， = ．
三、解答題：（本大題共6小題，滿分80分．須寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟．）
16．（本小題滿分12分）
已知函數 .
(1)求函數 的最小正周期和最值；
(2)求函數 的單調遞減區間．
17．（本題滿分12分）
若盒中裝有同一型號的燈泡共 只，其中有 只合格品， 只次品。
（1） 某工人師傅有放回地連續從該盒中取燈泡 次，每次取一只燈泡，求 次取到次品的概率；
（2） 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢（不再放回原盒中），求成功更換會議室的已壞燈泡所用燈泡只數 的分布列和
數學期望．
18.（本小題滿分14分）
四棱錐 底面是平行四邊形，面 面 ,
, , 分別為 的中點.
（1）求證： ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．（本小題滿分14分）
已知數列 的前 項和是 ，且 ．
（1）求數列 的通項公式；
（2）設 ，求適合方程 的正整數 的值．
20．（本小題滿分14分）
已知左焦點為 的橢圓過點 ．過點 分別作斜率為 的橢圓的動弦 ，設 分別為線段 的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若 為線段 的中點，求 ；
（3）若 ，求證直線 恒過定點，并求出定點坐標．
21．（本小題滿分14分）
已知函數
（1）當 時，求函數 在 上的極值；
（2）證明：當 時， ；
（3）證明： .
惠州市2014屆高三第二次調研考試
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D A A
1.【解析】因為 。故選B
2.【解析】集合 ，集合B為函數 的定義域，所以 ，所以 （1，2]。故選D
3【解析】 得 ，即 ，所以 ，選B
4.【解析】第一次循環： ，不滿足條件，再次循環；
第二次循環： ，不滿足條件，再次循環；
第三次循環： ，不滿足條件，再次循環；
第四次循環： ，不滿足條件，再次循環；
第五次循環： ，滿足條件，輸出S的值為40.
故選C
5.【解析】由直線 : 與 : 平行，得 ，所以“ ”是“直線 : 與 : 平行”的充分不必要條件。故選A
6.【解析】由題知該幾何體是挖去 個球的幾何體。所以 .故選D
7.【解析】由系統抽樣的原理知將960人分30組，所以第一組抽450/30=15人，第二組抽（750-450）/30=10，第三組抽32-15-10=7人。故選A
8.【解析】∵f（x）=1+x﹣ ，
∴當x＜﹣1或x＞﹣1時，f'（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= ＞0．
而當x=﹣1時，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0對任意x∈R恒成立，得函數f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數
∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣ ﹣ ）+…+（﹣ ﹣ ）＜0，f（0）=1＞0
∴函數f（x）在R上有唯一零點x0∈（﹣1，0）
∴b﹣a的最小值為0-（-1）=1.
∵圓x2+y2=b﹣a的圓心為原點，半徑r=
∴圓x2+y2=b﹣a的面積為πr2=π（b﹣a）≤π，可得面積的最小值為π。故選：A
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9．（-2，-4） 10． 11．1 12．4 13．-8 14． 15．
9.【解析】因為 所以
10.【解析】 得 ，
又
11.【解析】?由可行域知直線過點（1,0）時取得最大值1
12.【解析】 ，由 ，所以 。
13.【解析】因為函數 為奇函數，所以 ，即 。所以 。
14.【解析】曲線 即 ，表示圓心在（1，0），半徑等于1的圓，直線 =4，即 ，圓心（1，0）到直線的距離等于 ，所以點A到直線 =4的距離的最小值是 。
15.【解析】連結PO，因為PD是⊙O的切線，P是切點，∠D=30°，所以∠POC=60°，
并且AO=2，∠POA=120°，PO=1
在△POA中，由余弦定理知，
三、解答題：
16. （本小題滿分12分）
解：(1)f(x) …………………………3分
…………………………4分
當 即 時，f(x)取最大值2；…………5分
當 即 時，f(x)取最小值-2…………6分
(2)由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴單調遞減區間為 . ………………………12分
17（本小題滿分12分）
解：解：設一次取次品記為事件A，由古典概型概率公式得： ……2 分
有放回連續取3次，其中2次取得次品記為事件B，由獨立重復試驗得： ………4分
（2）依據知X的可能取值為1.2.3………5分
且 ………6分 ………7
………8分
則X的分布列如下表：
X 1 2 3
p
……10分
………12分
18（本小題滿分14分）
解: （1） -----2分
,所以 ---4分
---6分
(2)取 的中點 , ---8分
是二面角
的平面角 ----------------------------10分
知
--------------------12分
即二面角 的余弦值為 ---------------14分
解法二 （1）
所以
………………………………2分
建系 令
,
……………………..4分
因為平面PAB的法向量
…………..6分
(2) 設平面PAD的法向量為
, …………8分
…………10分
令 所以 …………12分
平面PAB的法向量 ……13分
，即二面角 的余弦值為 .................14分
說明：其他建系方法酌情給分
19（本小題滿分14分）
（1） 當 時， ，由 ，得 ……………………1分
當 時，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 為首項， 為公比的等比數列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
…13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20（本小題滿分14分）
解 （1）由題意知 設右焦點
………………2分
橢圓方程為 ………………4分
（2）設 則 ① ②………………6分
②-①，可得 ………………8分
（3）由題意 ，設
直線 ，即 代入橢圓方程并化簡得
………………10分
同理 ………………11分
當 時， 直線 的斜率
直線 的方程為
又 化簡得 此時直線過定點（0， ）………13分
當 時，直線 即為 軸，也過點（0， ）
綜上，直線過定點（0， ） ………………14分 21（本小題滿分14分）
解 （1）當
……………1分
變化如下表
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
， ……………4分
（2）令
則 ………………………6分
上為增函數。 ………………8分
…………………9分
（3）由（2）知 …………………10分
令 得， …………12分
…………13分
…………14分
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