惠州市2014屆高三第二次調研考試試題
數 學（文科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1. 已知集合 ，集合 ， 表示空集，那么 （ ）
A． B． C． D．
2. 命題“存在實數 ，使 ”的否定為（ ）
A．對任意實數 ，都有 B．不存在實數 ，使
C．對任意實數 ，都有 D．存在實數 ，使
3. 雙曲線 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4. 直線 與圓 的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交且直線不經過圓心
C．相離 D．相交且直線經過圓心
5. 已知 ， ，若 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
6. 函數 的定義域為（ ）
A． B． C． D．
7. 已知等差數列 的前 項和為 ，若 ， ，則 為（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函數 的部分
圖像如圖所示，則 的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 為兩條不同的直線， 為兩個不同的平面，給出下列4個命題：
①若 ②若
③若 ④若
其中真命題的序號為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10. 設 是正 及其內部的點構成的集合，點 是 的中心，若集合 .則集合 表示的平面區域是（ ）
A．三角形區域 B．四邊形區域
C．五邊形區域 D．六邊形區域
二、填空題：（本大題共5小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分20分）
（一）必做題：第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
11.復數 的虛部為__________．
12.如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結果為_________.
13.設變量 滿足約束條件 ，則 的
最大值為_________.
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分。
14. (坐標系與參數方程選做題) 在極坐標系下，圓 的圓心到直線 的距離為 ．
15.（幾何證明選講選做題）如圖，圓 是 的外接圓，過點 的切線交 的延長線于點 ，且 ， ，則 的長為 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數 .
（1）求函數 的最小正周期和最值；
（2）求函數 的單調遞減區間．
17．（本小題滿分12分）
對某校高一年級學生參加社區服務次數統計，隨機抽去了 名學生作為樣本，得到這 名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下：
（1）求出表中 的值；
（2）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于 次的學生中任選 人，求至少一人參加社區服務次數在區間 內的概率．
18.（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐 中， 底面 ,
為 的中點, .
（1）求證： 平面 ；
（2）求點 到平面 的距離。
19.（本小題滿分14分）
已知數列 的前 項和是 ，且 ．
（1）求數列 的通項公式；
（2）設 ，求適合方程 的正整數 的值．
20.（本小題滿分14分）
已知橢圓的一個頂點為 ，焦點在 軸上，若右焦點到直線 的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線 與橢圓相交于不同的兩點 、 ，當 時，求 的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
已知函數
（1）若函數 在點 處的切線方程為 ，求 的值；
（2）若 ，函數 在區間 內有唯一零點，求 的取值范圍；
（3）若對任意的 ，均有 ，求 的取值范圍．
惠州市2014屆高三第二次調研考試試題答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
題號
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．【解析】因為 ，所以 ，選 ；
2．【解析】特稱命題的否定為：對任意實數 ，都有 ，選 ；
3．【解析】由 可知 ， 所以 ，離心率 ，選
4．【解析】圓心 到直線 的距離為 ，而圓的半徑為 ， 距離等于半徑，所以直線與圓相切，選 ；
5．【解析】由 得 ，解得 ， 選 ；
6．【解析】要使解析式有意義，必須滿足 ，解得 ，選 ；
7．【解析】 ，即 ，得 ，據等差數列前 項和公式 得 ，選
8．【解析】據五點法可得 ，解得 ， ，選 ；
9．【解析】若 則 與 的位置關系不能確定，所以命題①錯誤，
若 ，命題②正確，若兩平面垂直于同一條直線，則這兩平面平行，所以命題③正確，兩直線同時平行于一個平面，這兩條直線的位置關系不能確定，所以命題④正確，綜上所述，選 ；
10．【解析】因為正三角形中心為正三角形的重心，重心為中線
的一個三等分點，如圖所示，圖中六邊形
區域為集合 所表示的平面區域，選 。
二、填空題（本大題共5小題，第14、15小題任選一道作答，共20分）
11． 12． 13． 14． 15．
11．【解析】由 ，可得虛部為 ；
12．【解析】第一次循環： ； 第二次循環： ；；
第三次循環： ， ；跳出循環，輸出 ；
13．【解析】不等式組表示的平面區域如圖所示，當目標函數對應的直線過點 時；
的值最大，即 ；
14．【解析】 化為普通方程為 ，可知圓心坐標為 ， 化為普通方程為 ， ；
15．【解析】據切割線定理可得 ，即 ，
解得 或 ，舍去 ，所以 。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
解：（1） …………………………3分
…………………………4分
當 即 時， 取最大值2；…………5分
當 即 時， 取最小值-2…………6分
（2）由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴單調遞減區間為 . ………………………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（1）因為 ，所以 ……………2分
又因為 ，所以 ……………3分
所以 ， ……………4分
（2）設參加社區服務的次數在 內的學生為 ，參加社區服務的次數在 內的學生為 ； ……………5分
任選 名學生的結果為：
共 種情況 ； ……………8分
其中至少一人參加社區服務次數在區間 內的情況有
，共 種情況…10分
每種情況都是等可能出現的，所以其中至少一人參加社區服務次數在區間 內的概率為 . ……………12分
18.（本小題滿分14分）
證明：（1）因為 平面 ， 平面 ，
所以 …………2分
又因為在 中， ， 為 的中點，
所以 …………4分
又 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ………6分
（2）法一：因為 平面 且 平面
所以平面 平面 ， ……………8分
又因為平面 平面 ，
所以點 到 的距離 即為點 到平面 的距離， ……………10分
在直角三角形 中，由 ……………11分
得 ……………13分
所以點 到平面 的距離為 . ………………………14分
法二：設點 到平面 的距離為 ， 據 ………8分
即 ，得 ………………………13分
所以點 到平面 的距離為 . ………………………14分
19．（本小題滿分14分）
（1） 當 時， ，由 ，得 ……………………1分
當 時，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 為首項， 為公比的等比數列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
……13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20.（本小題滿分14分）
解: （1）依題意可設橢圓方程為 ，………………………….2分
則右焦點 的坐標為 ， ………………………….3分
由題意得 ，解得 ，
故所求橢圓的標準方程為 . ………………………….5分
（2）設 、 、 ，其中 為弦 的中點，
由 ，得 …………………….7分
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，所以
即 ①， ………………………….8分
，所以 ，
從而 , ………………………….9分
所以 ， ………………………….10分
又 ，所以 ，
因而 ，即 ②， ……………………….11分
把②式代入①式得 ，解得 ， ………………………….12分
由②式得 ，解得 ， ………………………….13分
綜上所述，求得 的取值范圍為 . ………………………….14分
21．（本小題滿分14分）
(1) ，所以 ，得 .………………2分
又 ，所以 ，得 .………………3分
（2） 因為 所以 ， .………………4分
當 時， ，當 時，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增 ………………5分
又 ，可知 在區間 內有唯一零點等價于
或 ， .………………7分
得 或 . .………………8分
(3) 若對任意的 ，均有 ，等價于
在 上的最大值與最小值之差 ……………10分
（ⅰ） 當 時，在 上 ， 在 上單調遞增，
由 ，得 ，
所以 .………………9分
（ⅱ）當 時，由 得
由 得 或
所以 ，同理 .………………10分
當 ，即 時， ，與題設矛盾；
.………………11分
當 ，即 時， 恒成立；……………12分
當 ，即 時， 恒成立；
.………………13分
綜上所述， 的取值范圍為 . .………………14分
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