韶關2014屆高三年級調研測試(一)
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前,考生要務必填寫答題卷上密封線內的有關項目.
2.選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答案代號填在答題卷對應的空格內.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.請考生保持答題卷的整潔.考試結束后，將答題卷和答題卡交回.
參考公式:錐體的體積公式 ，其中S為錐體的底面面積， 為錐體的高.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 設 集合 ， ,則 （ ）
2. 已知 是實數， 是純虛數，則 等于（ ）
A. B. C. D.
3．若 ，則有（ ）.
A. B. C. D.
4. 在區間 之間隨機抽取一個數 ,則 滿足 的概率為( )
A． . B． C. D.
5. 閱讀如圖的程序框圖．若輸入n=5，則輸出k的值為( )
A. B. C. D.
6．已知橢圓與雙曲線 的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為 ，那么橢圓的離心率等于( )
A. B. C. D.
7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A． B． C． D．
8. 函數 是（ ）
A．最小正周期為 的奇函數 B．最小正周期為 的偶函數
C．最小正周期為 的奇函數 D．最小正周期為 的偶函數
9. 已知向量 與 的夾角為 ,且 ,若 ,且, ,則實數 的值為( ）
A． B． C． D．
10. 已知函數 ，且函數 有且只有一個零點，則實數 的取值范圍是( )
A． B． . D．
二、填空題:本大共5小題,考生作答4小題,每小題5分，滿分20分.
(一)必做題(11～13題)
11. 等差數列 的前 項和為 ，若 ，則
12. 設實數x、y滿足 ，則 的最大值是_____________.
13．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為 =0.85x-85.71，給定下列結論：
①y與x具有正的線性相關關系；
②回歸直線過樣本點的中心（ ， ）；
③若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；
④若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg.
其中正確的結論是 .
(二)選做題(14～15題,考生只能從中選做一題)
14. （坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中,圓 的圓心到直線 的距離是 .
15. （幾何證明選講選做題）如圖, 是圓 的直徑,點 在圓 上,延長 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若 , 則 _________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．(本題滿分１２分)
某學校隨機抽取部分新生調查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所 得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學路上所需時間的范圍是 ，樣本數據分組為 ， ， ， ， .
（１）求直方圖中 的值；
（２）如果上學路上所需時間不少于40分鐘的學生可申請在學校住宿，請估計學校1000名新生中有多少名學生可以申請住宿.
17. (本題滿分１２分)
如圖，在 中， ， ， ，點 是 的中點．
（1）求邊 的長；
（2）求 的值和中線 的長.
18．(本題滿分１４分)
如圖所示的多面體中， 是菱形， 是矩形， 面 , ．
(1)求證：平 ；
(2))若 ，求四棱錐 的體積．
19．(本題滿分１４分)
已知函數 .
（1）當 時，求函數 單調區間；
(2) 若函數 在區間[1,2]上的最小值為 ,求 的值.
20．(本題滿分１４分)
已知 為公差不為零的等差數列，首項 ， 的部分項 、 、…、 恰為等比數列，且 ， ， .
（1）求數列 的通項公式 （用 表示）；
（2）若數列 的前 項和為 ，求 .
21．(本題滿分１４分)
設拋物線 的焦點為 ，點 ，線段 的中點在拋物線上. 設動直線 與拋物線相切于點 ，且與拋物線的準線相交于點 ，以 為直徑的圓記為圓 ．
（1）求 的值；
（2）證明：圓 與 軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點 ，使得圓 恒過點 ？若存在，求出 的坐標；若不存在，說明理由．
( 文科)參考答案和評分標準
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
CAAAB BCADB
1. 解析： ，所以 ，選C
2.解析： 是純虛數，則 ； ，選A
3. 解析： ， ， ， 選A.
4.解析:區間 看作總長度為2，區間 中滿足 的只是 ，長度為 ，因為 是隨機抽取的一個數，由幾何概型計算公式知 滿足 的概率為 .答案：
5. 答案：B
6. 解析： ， ， 選B
7. 解析:由三視圖易知，該幾何體是底面積為 ，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得 .答案：C
8. 解析： ，所以 是最小正周期為 的奇函數，選A
9. 解析： 得
選D
10. 解析：如圖，在同一坐標系中分別作出 與
的圖象，解析：如圖，在同一坐標系中分別作出 與
的圖象，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當 時，
直線 與 只有一個交點.,選B
二、填空題:本大共5小題,考生作答4小題,每小題5分，滿分20分.
11. 12. 13. ①②③ 14. 15.
題目解析:
11. 解析:可已知可得,
12. 解析由可行域知,當 時,
13. 解析:利用概念得到①②③正確
14.解析：如下圖:
15. 解析：如下圖: ，得
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．(本題滿分１２分)
解：（1）由 ，………………………….4分
則 ………………………….6分
（2）上學所需時間不少于40的學生的頻率為：
………………………….8分
估計學校1000名新生中有： ………………………….11分
答：估計學校1000名新生中有250名學生可以申請住宿. …………………12分
17．(本題滿分１２分)
解：在 中，由 可知， 是銳角，
所以， ………………………….2分
由正弦定理 ……5分
(2)
………………………………………………8分
由余弦定理:
………………. …………………………………………………………………12分
18．(本題滿分１4分)
證明：（1）由 是菱形
………………………………3分
由 是矩形
………………………………6分
（2）連接 ，
由 是菱形，
由 面 ,
，……………………………………………10分
則 為四棱錐 的高
由 是菱形， ，
則 為等邊三角形，
由 ；則
， ………………………………………14分
19. (本題滿分１4分)
解：（1）解： ……………１分
因為 ，所以 對任意實數 恒成立，
所以 在 是減函數…………………4分
(2)當 時，由（１）可知， 在區間[1,2]是減函數
由 得 ，（不符合舍去）…………………6分
當 時， 的兩根 …………………7分
①當 ，即 時， 在區間[1,2]恒成立， 在區間[1,2]是增函數，由 得 …………………9分
②當 ，即 時 在區間[1,2]恒成立 在區間[1,2]是減函數
， （不符合舍去）…………………11分
③當 ，即 時， 在區間 是減函數， 在區間 是增函數；所以 無解…………………13分
綜上， …………………14分
20. (本題滿分１4分)
解：（1） 為公差不為 ，由已知得 ， ， 成等比數列，
∴ ，……………………………1分
得 或 ……………………………2分
若 ，則 為 ，這與 ， ， 成等比數列矛盾，
所以 ， ……………………………4分
所以 . ……………………………5分
（2）由（1）可知
∴ ……………………………7分
而等比數列 的公比 。
……………………………9分
因此 ，
∴
……………………………11分
∴
……………………………14分
解：（1）利用拋物線的定義得 ，故線段 的中點的坐標為 ，代入方程得 ，解得 。 ……………………………2分
（2）由（1）得拋物線的方程為 ，從而拋物線的準線方程為
……………………………3分
由 得方程 ，
由直線與拋物線相切，得 ……………………………4分
且 ，從而 ，即 ， ……………………………5分
由 ，解得 ， ……………………………6分
∴ 的中點 的坐標為
圓心 到 軸距離 ，
∵
所圓與 軸總有公共點. ……………………………8分
(或 由 , ,以線段 為直徑的方程為:
令 得
,所圓與 軸總有公共點）.
……………………………9分
（3）假設平面內存在定點 滿足條件，由拋物線對稱性知點 在 軸上，設點 坐標為 ， ……………………………10分
由（2）知 ，
∴ 。
由 得，
所以 ，即 或
……………………………13分
所以平面上存在定點 ，使得圓 恒過點 .
……………………………14分
證法二：由（2）知 ， ， 的中點 的坐標為
所以圓 的方程為
……………………………11分
整理得
……………………………12分
上式對任意 均成立，
當且僅當 ，解得 ……………………………13分
所以平面上存在定點 ，使得圓 恒過點 .
……………………………14分
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