2014年汕頭市普通高考模擬考試試題
理 科 數 學
本試卷共4頁，20小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1.答卷前，考生首先檢查試題卷、答題卡是否整潔無缺損，之后務必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己班級，姓名和座位號。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上題目的標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再涂其他答案，答案答在答題卡上。不按要求填涂的，答案無效。
3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回。
參考公式：
體積公式： , ，其中 分別是體積、底面積和高；
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知i為虛數單位，則復數 的模是（ ）
A.4 B. C. D.8
2.若集合 , ,則=（ ）
A.(1,3) B. C.（-1,3） D.（-3,1）
3．如圖，在中 ，則 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.雙曲線 的焦點到漸近線的距離為（ ）
A.2 B. C.1 D.3 第3題圖
5.在下列命題
① ； ②
③ 展開式中的常數項為2；④設隨機變量 若 ，則 ，其中所有正確命題的序號是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④
6.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（ ）
A.4種 B. 10種 C. 18種 D. 20種
7.某個長方體被一個平面所截，截得的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（ ）
A.4 B. C. D.8
第7題圖
8.設 ）為平面直角坐標系上的兩點，其中 .令 , ,若 ,且 ，則稱點B為點A的“相關點”，記作： ,已知 ）為平面上一個定點，平面上點列 滿足： = ，且點 的坐標為 ，其中 ,z則點 的相關點”有（ ）個
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分
(一)必做題（9-13題）
9.已知 ，則
10.在等比數列 中， ,若 為等差數列，且 , 則數列 的前5項和等于
11.若執行如圖所示的框圖，輸入 則輸出的數等于
12.設 是周期為2的奇函數，當 時, ),
13.某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。公司在生產這兩種產品的計劃中，要求以每天消耗A、B原料都不超過12千克。通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司可共獲得的最大利潤是
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題，兩題全答的，只記前一題的得分）
14.在直角坐標系 中，曲線 的參數方程為 ；在極坐標系（與直角坐標系 取相同的長度單位，且原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線 的方程為 ，則 與 交點個數為
15.如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點D,E,F,延長AF與圓O交于另一點G，給出下列三個結論： , ,其中正確結論的序號是
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.（本小題12分）設 , ( ),函數 ，且函數 圖像的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距 離
(I)為求函數 的解析式。
(II)在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足 ,
求c邊的長。
17. （本小題滿分12分）靖國神社是日本軍國主義的象征。中國人民珍愛和平，所以要堅決反對日本軍國主義。2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國神社，此舉在世界各國激起輿論的批評。某報的環球輿情調查中心對中國大陸七個代表性城市的1000個普通民眾展開民意調查。某城市調查體統計結果如下表：
性別
中國政府是否
需要在釣魚島和其他爭議
問題上持續對日強硬 男 女
需要 50 250
不需要 100 150
（I）試估計這七個代表性城市的普通民眾中，認為“中國政府需要在釣魚島和其他爭議問題上持續對日強硬”的民眾所占比例；
（II）能否有以上的把握認為這七個代表性城市的普通民眾的民意與性別有關？
(III)從被調查認為“中國政府需要在釣魚島和其他爭議問題上持續對日強硬”的民眾中，采用分層抽樣的方式抽取6人做進一步的問卷調查，然后在這6人中用簡單隨機抽樣方法抽取2人進行電視專訪，記被抽到的2人中女性的人數為X，求X的分布列。
P( )
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附： ,
18. （本小題滿分14分）如圖，已知 是棱長為3的正方體，點E在 上，點F在 上，且 .
(I)求證：E、B、F、 四點共面；
（II）若點G在BC上， ，點M在 上， ，垂足為H，
求證： ;
(III)用 表示截面 和面 所成銳二面角大小，
求 .
19. （本小題滿分14分）已知橢圓C的方程為 ，如圖，在平面直角坐標系 中， 的三個頂點的坐標分別為
（I）求橢圓C的離心率；
(II)若橢圓C與 無公共點，求m的取值范圍；
（III）若橢圓C與 相交于不同的兩點，分別為M、N,
求 面積S的最大值。
20. （本小題滿分14分）設數列 的前 項和為 ,已知 ，
（I） 求 的值；
（II） 求數列 的通項公式
（III） 證明：對一切正整數n，有
21. （本小題滿分14分）已知函數
（I）求函數 的單調區間；
（II）試探究函數 在定義域內是否存在零點，若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由。
（III）若 ，且 在 上恒成立，求實數a的取值范圍。
一、選擇題：（1—8小題）BADCB BDC
3、本題主要考查向量的數量積的定義
6、本題主要考查兩個原理與排列組合知識，考察考生分析問題的能力。分兩類:一是取出1本畫冊,3本集郵冊,此時贈送方法有 種；二是取出2本畫冊,2本集郵冊，此時贈送方法有 種.故贈送方法共有10種.
7、
8、因為 為非零整數）故 或 ，所以點 的相關點有8個
二、填空題：
9、 10、10 11、 12、 13、2880 14、2 15、①②
解析：
11、由框圖的算法功能可知，輸出的數為三個數的方差，
則
12、 .
14、曲線 ， ，由圓心到直線的距離 ，故 與 的交點個數為2.
15、如圖， ，所以③錯
三、解答題：
(說明：能體現公式的就給分)
17、解：（1）由題意知道：
則在這七個代表性城市的普通民眾中，認為“中國政府需要在釣魚島和其他爭議問題上持續對日強硬”的民眾所占的比例大約為 。………………………………(4分)
（2）提出假設 ：這七個代表性城市普通民眾的民意與性別無關。
由數表知:
則有 以上的把握認為這七個代表性城市普通民眾的民意與性別有關…………. (7分)
（3）設抽取的6人中男性有 人，女性有6 人，則 得 ，
所以 6人中男性有1人，女性有5人。………………………………(8分)
則隨機變量 的所有可能取值為1,2………(9分)
………(10分)
………(11分)
則隨機變量 的分布列如下表：
1 2
…………………(12分)
18、(方法一)解：（1）證明：在DD 上取一點N使得DN=1，
連接CN，EN，顯然四邊形CFD N是平行四邊形，
∴D F//CN。同理四邊形DNEA是平行四邊形，
∴EN//AD，且EN=AD。又BC//AD，且AD=BC，
∴EN//BC，EN=BC，∴四邊形CNEB是平行四邊形。
∴CN//BE。∴D F//BE。∴E，B，F, 四點共面。…………….(5分)
（2）∵ ，∴ BCF∽ MBG。
∴ ，即 。∴MB=1。…………….(7分)
∵AE=1，∴四邊形ABME是矩形。∴EM⊥BB 。…………….(8分)
又∵平面ABB A ⊥平面BCC B ，且EM在平面ABB A 內，
∴ 面 。…………….(10分)
（3）∵ 面 ，∴ BF， MH， 。
∴∠MHE就是截面 和面 所成銳二面角的平面角。…………….(12分)
∵∠EMH= ，∴ ，ME=AB=3， BCF∽ MHB。
∴3：MH=BF：1。又∵BF= ，∴MH= 。∴ =
所以 。……………………………………………………………..(14分)
方法二：（向量法）（1）如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，那么
19、解 (Ⅰ) 由已知可得, ,
,即橢圓 的離心率為 ……………(4分)
(Ⅱ) 由圖可知當橢圓 在直線 的左下方或 在橢圓內時,兩者便無公共點(5分)
① 當橢圓 在直線 的左下方時
將 : 即 代入方程
整理得 ,
由 即 <0解得
∴由橢圓的幾何性質可知當 時, 橢圓 在直線 的左下方………(7分)
② 當 在橢圓內時,當且僅當點 在橢圓內
∴可得 ,又因為 , ∴
綜上所述,當 或 時,橢圓 與 無公共點………(9分)
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知當 時, 橢圓 與 相交于不同的兩個點 ﹑ (10分)
又因為當 時, 橢圓 的方程為 ,此時橢圓恰好過點 ,
∴① 當 時, ﹑ 在線段 上,顯然的,此時 ,當且僅當 ﹑ 分別與 ﹑ 重合時等號成立, ………(11分)
②當 時,點 ﹑ 分別在線段 , 上, 易得 , , ∴ = …(12分)
令 ,則
所以 = 綜上可得面積 的最大值為1. ………(14分)
20、解(Ⅰ) 依題意, ,又 ,所以 ；………(3分)
(Ⅱ) 當 時, ,
兩式相減得 ………(5分)
整理得 ,即 ,所以 ………………………(6分)
又因為 且 所以 …………(7分)
故數列 是首項為 ,公比為 的等比數列,
所以 ,所以 .…………………(9分)
(Ⅲ)因為當 時,
…(10分)
①當 時, ；(考生易漏) …………………(11分)
②當 且 為奇數時,令 ( ),
；…………………(12分)
③當 為偶數時,令 ( ),
此時 …………(13分)
綜上,對一切正整數 ,有 .…………(14分)
21、解：（1）由 …………(1分)
① 當 時，則 有 函數 在區間 單調遞增；…(2分)
② 當 時， ,
函數 的單調增區間為 ，單調減區間為 。…………(4分)
綜合①②的當 時，函數 的單調增區間為 ；
當 時，函數 的單調增區間為 ，單調減區間為 。………(5分)
（2）函數 定義域為 ………………………(6分)
又
令
則 ………………………(7分)
故函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增。
………………………(8分)
有由（1）知當 時，對 ，有
即
當 且 趨向0時， 趨向
隨著 的增長， 的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于 的增長速度，而 的增長速度則會越來越慢。故當 且 趨向 時， 趨向 。得到函數 的草圖如圖所示………………………(9分)
故①當 時，函數 有兩個不同的零點；
②當 時，函數 有且僅有一個零點；
③當 時，函數 無零點；………………………(10分)
（3）由（2）知當 時， ，故對 ，
先分析法證明：
要證
只需證
即證
構造函數
故函數 在 單調遞增，
，
則 成立。………………………(12分)
①當 時，由（1）知，函數 在 單調遞增，則 在 上恒成立。 ………………………(13分)
②當 時，由（1）知，函數 在 單調遞增，在 單調遞減，
故當 時， ，所以 ，則不滿足題意。
綜合①②得，滿足題意的實數 的取值范圍 。………………………(14分)
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