本試卷共4頁，共21小題，滿分150分. 考試用時120分鐘.
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、座位號，將相應的試室號、座位號信息點涂黑.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效.
4．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式：棱錐的體積公式： ， 是棱錐底面積， 是棱錐的高.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設集合 , ，,則 （ ）
2．已知 是實數， 是純虛數，則 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，則有（ ）.
A. B. C. D.
4. 已知橢圓與雙曲線 的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為 ，那么橢圓的離心率等于( )
A. B. C. D.
5. 函數 是（ ）
A．最小正周期為 的奇函數 B．最小正周期為 的偶函數
C．最小正周期為 的奇函數 D．最小正周期為 的偶函數
6. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A． B． C． D．
7. 已知向量 與 的夾角為 ,且 ,若 ,且, ,則實數 的值為( ）
A． B． C． D．
8. 設實數x、y滿足 ，則 的取值范圍是( )
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.
（一）必做題（9~13題）
9. 等差數列 的前 項和為 ，若 ，則
10.已知函數 ，則曲線 在點 處的切線方程為___________.
11. 已知實數 ，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的 不小于47的概率為 ．
12. 不等式 解集是_____________________.
13. 已知函數 ，且關于x的方程 有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________.
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14.（幾何證明選講選做題）如圖, 是圓 的直徑,點 在圓 上,延長 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若 ,, 則 _________.
15.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中,圓 的圓心到直線 的距離是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
如圖，在 中， ， ， ，點 是 的中點, 求:
（1）邊 的長；
（2） 的值和中線 的長.
17. （本小題滿分12分）
某學校隨機抽取部分新生調查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學路上所需時間的范圍是 ，樣本數據分組為 ， ， ， ， .
（1）求直方圖中 的值；
（2）如果上學路上所需時間不少于60分鐘的學生可申請在學校住宿，請估計學校1000名新生中有多少名學生可以申請住宿；
（3）現有６名上學路上時間小于 分鐘的新生，其中２人上學路上時間小于 分鐘. 從這６人中任選２人，設這２人中上學路上時間小于 分鐘人數為 ,求 的分布列和
數學期望．
18. （本小題滿分14分）
如圖所示的多面體中， 是菱形， 是矩形， 平面 ， ， ．
(1) 求證：平面 平面 ；
(2) 若二面角 為直二面角，求直線 與平面 所成的角 的正弦值．
19.（本小題滿分14分）
已知函數
（1）當 時，求 的單調區間；
（2）若 在 的最大值為 ，求 的值.
20.（本小題滿分14分）
已知 為公差不為零的等差數列，首項 ， 的部分項 、 、…、 恰為等比數列，且 ， ， .
（1）求數列 的通項公式 （用 表示）；
（2）設數列 的前 項和為 , 求證： （ 是正整數）.
Ks5u
21.（本小題滿分14分）
設拋物線 的焦點為 ，點 ，線段 的中點在拋物線上. 設動直線 與拋物線相切于點 ，且與拋物線的準線相交于點 ，以 為直徑的圓記為圓 ．
（1）求 的值；
（2）試判斷圓 與 軸的位置關系；
（3）在坐標平面上是否存在定點 ，使得圓 恒過點 ？若存在，求出 的坐標；若不存在，說明理由．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
CAABA CDB
題目解析:
1. 解析： ，所以 ，選C
2.解析： 是純虛數，則 ； ，選A
3. 解析： ， ， ， 選A.
4. 解析： ， ， 選B
5. 解析： ，所以 是最小正周期為 的奇函數，選A
6. 解析：由三視圖易知，該幾何體是底面積為 ，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得 .選C Ks5u
7. 解析： 得
,選D
8. 解析：：作出可行域如圖，當平行直線系 在直
線BC與點A間運動時， ，此時
，平行直線線 在點
O與BC之間運動時， ，此時， . .選B
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9. 10. , 11. 12. 13.
14. 15. .
題目解析:
9. 解析：可已知可得,
10. 解析：由幾何概型得到輸出的x不小于47的概率為P= =
11. 解析： ， ， 切線方程 ，即 Ks5u
12. 解析：設 ，則 .由 ，解得 ，所以解集為
13. 解析：如圖，在同一坐標系中分別作出 與 的圖象，
其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當 時，直線
與 只有一個交點.
14. 解析：利用已知條件可得 ，
15. 解析：如下圖, 設圓心到直線距離為 ，因為圓的半徑為 ，
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本題滿分12分)
解：解：由 可知， 是銳角，
所以， ………………………….2分
由正弦定理
………………. ………………………………………………………………………5分
(2)
………………………………………………8分
由余弦定理:
………………. ………………………………………………12分
17. (本題滿分12分)
（1）由直方圖可得：
.[學所以 .……………………………2分
（2）新生上學所需時間不少于60分鐘的頻率為：
…………………………………4分
因為
所以 名新生中有 名學生可以申請住宿.………………6分
（3） 的可能取值為0，1，2. …………………………………7分
所以 的可能取值為 ………………………………７分
所以 的分布列為：
0 1 2
………………………11分
………………………………12分
18.（本小題滿分14分）
（1）矩形 中， --------1分
平面 ， 平面 , 平面 ，-2分
同理 平面 ,-------3分
又 u 平面 ∥平面 ------4分
（2）取 的中點 .
由于 面 , ∥ ,
又 是菱形， 是矩形，所以， 是全等三角形，
所以 ， 就是二面角 的平面角-------8分
解法1（幾何方法）：
延長 到 ，使 ,由已知可得， 是平行四邊形，又 矩形，所以 是平行四邊形， 共面，由上證可知， ， , 相交于 ， 平面 ， 為所求.
由 , ,得
等腰直角三角形 中， ,可得
直角三角形 中,
解法2幾何方法）：由 ， ， 得 平面 ，欲求直線 與平面 所成的角，先求 與 所成的角. ------12分
連結 ，設 則在 中， ， ，用余弦定理知 ---14分
解法3（向量方法）：以 為原點， 為 軸、 為 軸
建立如圖的直角坐標系，由 則 ，
，平面 的法向量 ， -------12分
. ---14分
19.（本小題滿分14分）
解:(1) ……………………………………….1分
其判別式 ，
因為 ， 所以， ，對任意實數， 恒成立，Ks5u
所以， 在 上是增函數……………………………………….4分
（2）當 時，由（1）可知， 在 上是增函數，所以 在 的最大值為 ，由 ，解得 （不符合，舍去）……………………………6分
當 時 ， ，方程 的兩根為
， ，………………………………………8分
圖象的對稱軸
因為
（或 ）, 所以
由 解得
①當 ， ，因為 ，所以 時， , 在 是減函數， 在 的最大值 ，由 ，解得 （不符合，舍去）.………………………………….………………………12分
②當 ， ， ， ， 在 是減函數， 當 時， ， 在 是增函數.所以 在 的最大值 或 ，由 ， ，解得 （不符合，舍去）， ……………………14分
綜上所述
20.（本小題滿分14分）
解：（1）設數列 的公差為 ，
由已知得 ， ， 成等比數列，
∴ ，且 ……………………………2分
得 或
∵ 已知 為公差不為零
∴ ， ……………………………3分
∴ . ……………………………4分
（2）由（1）知 ∴
……………………………5分
而等比數列 的公比 .
∴ ……………………………6分
因此 ，
∵
∴ ……………………………7分
∴
……………………………9分
∵當 時，
∴ ……………………………11分
∴當 時， ，不等式成立；
當 時，
綜上得不等式 成立.
……………………………14分
法二∵當 時，
∴ ……………………………11分
∴當 時， ，不等式成立；
當 時， ，不等式成立；
當 時，
綜上得不等式 成立.
……………………………14分
所以， 時， ，
時， 綜上得不等式 成立.
20.（本小題滿分14分）
解：（1）利用拋物線的定義得 ，故線段 的中點的坐標為 ，代入方程得 ，解得 。 ……………………………2分
（2）由（1）得拋物線的方程為 ，從而拋物線的準線方程為
……………………………3分
由 得方程 ，
由直線與拋物線相切，得 ……………………………4分
且 ，從而 ，即 ， ……………………………5分
由 ，解得 ， ……………………………6分
∴ 的中點 的坐標為 Ks5u
圓心 到 軸距離 ，
∵
………………………………………8分
∵ ，
∴ 當 時， ，圓 與 軸相切；
當 時， ，圓 與 軸相交；……………………9分
(或，以線段 為直徑圓的方程為:
令 得
∴ 當 時， ，圓 與 軸相切；
當 時， ，圓 與 軸相交；……………………9分
（3）方法一：假設平面內存在定點 滿足條件，由拋物線對稱性知點 在 軸上，設點 坐標為 ，…………………………………………………………………………10分
由（2）知 ，
∴ 。
由 得，
所以 ，即 或
……………………………13分
所以平面上存在定點 ，使得圓 恒過點 .
……………………………14分
證法二：由（2）知 ， ， 的中點 的坐標為
所以圓 的方程為
……………………………11分
整理得
……………………………12分
上式對任意 均成立，
當且僅當 ，解得 ……………………………13分
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