2014年湛江市一模
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘
注意事項：
1.答卷前，考生務必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。用2B鉛筆
將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、
座位號，將相應的試室號、座位號信息點涂黑。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考試結束后，將試題與答題卡一并交回。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．復數 的共軛復數是
A． B． C． D．
2．設函數 的定義域為A，值域為B，則 =
A． B． C． D．
3．若等差數列 和等比數列 滿足 則
A．5 B．16 C．80 D．160
4．“ ”是“ ” 的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．如下圖所示的幾何體，其俯視圖正確的是
6．若關于 、 的不等式組 表示的平面區域是一個三角形，則 的取值范圍是
A． B． C． D． 或
7．若函數 的導函數在區間 上有零點，則 在下列區間單調遞增的是
A． B． C． D．
8．定義平面向量的正弦積為 ，（其中 為 、 的夾角），已知△ABC中，
，則此三角形一定是
A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 銳角三角形 D． 鈍角三角形
二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9． 展開式的常數項的值為________________。
10．點 到雙曲線 的漸近線的距離為______________。
11．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果是5，則判斷框內 的
的取值范圍是________________。
12．若長方體的頂點都在半徑為3的球面上，則該長方體表面積的最
大值為 ．
13．若函數 ， 分別是R上的奇函數、偶函數，且滿足 ，則比較 、 、 的大小結果是 （從小到大排列）．
（二）選做題（14—15題，考生只能從中選做一題）
14．（坐標系與參數方程選做題）
已知曲線 的參數方程是 ．（ 為參數），以坐標原點O為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 的極坐標方程為 ，則在曲線 上到直線 的距離為 的點有_____________個。
15．（幾何證明選講選做題）
如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=3，CD是⊙O的切
線，BD⊥CD于D,則CD= ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數 ．
的部分圖象如圖所示，其中點P是圖象的一個最高點。
(1) 求函數 的解析式；
(2) 已知 且 ，求 ．
17．（本小題滿分12分）
在某次
數學考試中，抽查了1000名學生的成績，得到頻率分布直方圖如圖所示，規定85分及其以上為優秀。
（1）下表是這次抽查成績的頻數分布表，試求正整數 、 的值；
區間 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
人數 50 a 350 300 b
(2) 現在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成
績進行分析，求抽取成績為優秀的學生人數；
(3)在根據(2)抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參加
座談會，記其中成績為優秀的人數為X，求X的分布列
18．（本小題滿分14分）
如圖，三棱柱 中，△ABC是正三角形，
，平面 平面 ， 。
(1) 證明： ；
(2) 證明：求二面角 的余弦值；
(3) 設點 是平面 內的動點，求 的最小值．
19．（本小題滿分14分）
已知正數數列 中， ，前 項和為 ，對任意 ， 、 、 成等差數列。
(1) 求 和 ；
(2) 設 ，數列 的前 項和為 ，當 時，證明： 。
20．（本小題滿分14分）
已知頂點為原點O的拋物線 的焦點 與橢圓 的右焦點重合
與 在第一和第四象限的交點分別為A、B．
(1) 若△AOB是邊長為 的正三角形，求拋物線 的方程；
(2)若 ，求橢圓 的離心率 ；
(3) 點 為橢圓 上的任一點，若直線 、 分別與 軸交于點 和 ，證探究：
當 為常數時， 是否為定值？請證明你的結論．
21．（本小題滿分14分）
已知 ．
(1) 若 存在單調遞減區間，求實數 的取值范圍；
(2) 若 ,求證：當 時， 恒成立；
(3) 設 ，證明： 。
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A
9. 20 10. 11. 12. 72 13. 14. 3 15.
16.解：(1)由函數最大值為2 ，得A=2 。……………………………………………………….1分
由圖可得周期 ，……………………………………………………….2分
由 ，得 。 ……………………………………………………….3分
又 ，及 得 …………………….5分
。 ……………………………………………………….6分
（2） ，…………………….8分
．………………….12分
17. 解：（1）80分至85分的人數為： （人）；
95分至100分的人數為： （人）；
（2）用分層抽樣的方法從1000人中抽取40人，其中成績為優秀的學生人數為：
（人）；
（3）在抽取的40人中，85分以下的共有10人，85分及其以上的共有30人，從中抽取的2人中，
成績優秀的人數X的可能取值分別是：0人、1人、2人，其分布列如下表：
X 0 1 2
P(X)
18.（1）證明：∵ ，△ 是正三角形，
∴ ， ∴ ,
又∵ , ∴△ 是正三角形，
取 中點 ，連結 、 ，則
又∵ ，∴ ,
又∵ ,∴
（2）證明：∵ ，由（1）知 ，
∴ ，∴ ；
∵
∴
∵ , ∴ ，
在
∴
（3）解：延長 至 使 ，連結 、 、 ，
則 就是 的最小值，
以 為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則點
的坐標為 ， 的坐標是 ，
19. 解：（1）依題意： ， 即 ，∴ .
∴ . 當 時，
②代入①并整理得:
∴ ， ， ， ，…，
把以上 個式子相乘得： ，又∵ ∴
∵當 時， 也滿足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴ ，∴
又
∴ 。
20. 解：（1）設橢圓的右焦點為 ，依題意得拋物線的方程為 ………………………1分
∵△ 是邊長為 的正三角形，∴點A的坐標是 ， …………………………3分
代入拋物線的方程 解得 ，故所求拋物線 的方程為 …………………4分
（2）∵ , ∴ 點 的橫坐標是
代入橢圓方程解得 ，即點 的坐標是 …………………………5分
∵ 點 在拋物線 上， ∴ ， …………………………6分
將 代入上式整理得： ，
即 ，解得 …………………………7分
∵ ，故所求橢圓 的離心率 。 …………………………8分
（3）證明：設 ，代入橢圓方程得 …………9分
而直線 的方程為 …………………………10分
令 得 。 …………………………11分
在 中，以 代換 得 …………………………12分
∴
∴當 為常數時， 是定值。 …………………………14分
21.解：(1)當 時， ∴ . …………………………1分
∵ 有單調減區間，∴ 有解，即
∵ ，∴ 有解。 …………………………2分
（ⅰ）當 時符合題意；
（ⅱ）當 時，△ ，即 。∴ 的取值范圍是 。 …………4分
（2）當 時，設 ，∴ ……5分
∵ ，討論 的正負得下表：
…………………………6分
∴當 時 有最大值0. 即 恒成立。
∴當 時， 恒成立。 …………………………8分
（3）∵ ，∴
…………………………10分
………12分
由（2）有
∴ …………………………14分
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