2014江門市一模
本試卷共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1． 答題前，考生務必把自己的姓名、考生號等填寫在答題卡相應的位置上。
2． 做選擇題時，必須用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。
3． 非選擇題必須使用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規定的位置上。
4． 所有題目必須在答題卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案無效。
5． 考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將答題卡交回。
參考公式：錐體的體積公式 ，其中 是錐體的底面積， 是錐體的高．
如果事件 、 互斥，那么 ．
獨立性檢驗臨界值表
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在復平面內，復數 （ 是虛數單位）對應的點在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．從2、3、5、7這四個質數中任取兩個相乘，可以得到不相等的積的個數是
A． B． C． D．
3．已知函數 為奇函數，且當 時， ，則
A． B． C． D．
甲 乙
4 6 2 2 5
3 3 6 8 3 2 3 4
3 7 9 4 3 3 5
1 5 1 2
4．將甲、乙兩個籃球隊10場比賽的得分數據
整理成如圖1所示的莖葉圖，由圖1可知
A．甲、乙兩隊得分的平均數相等
B．甲、乙兩隊得分的中位數相等
C．甲、乙兩隊得分的極差相等
D．甲、乙兩隊得分在 分數段的頻率相等
5．在平面直角坐標系 中，已知 ， ，若 ，則
A． B． C． D．
6．已知兩條不重合直線 、 的斜率分別為 、 ，則“ ”是“ ”成立的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．非充分非必要條件 D．充要條件
7．如圖2，在正方體 中， 是
棱 的中點， 是側面 上的動點，
并且 平面 ，則動點 的軌跡是
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．線段
8．設函數 ， ，若實數 ， 滿足 ， ，則
A． B．
C． D．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
(一)必做題（9～13題）
9．已知命題 ： ， ．
則命題 的否定 ： ．
10．執行如圖3的程序框圖，輸出的 ．
11．定積分 ．
12．已知直線 過點 和 （ ），
則直線 斜率的取值范圍是 ，
傾斜角的取值范圍是 ．
13．某個部件由三個元件如圖4方式連接而成，元件A
或元件B正常工作，且元件C正常工作，則部件正
常工作．若3個元件的次品率均為 ，且各個元件
相互獨立，那么該部件的次品率為 ．
(二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14．（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系 中，拋物線 的參數方程為 （ 為參數），以原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，直角坐標系的長度單位為長度單位建立極坐標系，直線 的極坐標方程為 ．若直線 經過拋物線 的焦點，則常數 ．
15．（幾何證明選講選做題）如圖5， 是圓
的弦， 是 的垂直平分線，切線
與 的延長線相交于 ．若 ，
，則圓 的半徑 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數 ， ．
⑴求 的值；
⑵若將 的圖象向右平移 （ ）個單位，所得到的曲線恰好經過坐標原點，求 的最小值．
17．（本小題滿分14分）
隨機詢問某大學40名不同性別的大學生在購買食物時是否讀營養說明，得到如下列聯表： 性別與讀營養說明列聯表
男 女 總計
讀營養說明 16 8 24
不讀營養說明 4 12 16
總計 20 20 40
⑴根據以上列聯表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與是否讀營養說明之間有關系？
⑵從被詢問的16名不讀營養說明的大學生中，隨機抽取2名學生，求抽到男生人數 的分布列及其均值（即
數學期望）．
（注： ，其中 為樣本容量．）
18．（本小題滿分14分）
如圖6，四棱錐 的底面 是平行四邊形， 底面 ， ， ， ， ．
⑴求證： ；
⑵ 是側棱 上一點，記 ，是否存在實數 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．
19．（本小題滿分12分）
已知數列 的首項 ， ， ．
⑴求數列 的通項公式；
⑵求證： ， ．
20．（本小題滿分14分）
已知橢圓 的焦點為 、 ，點 在橢圓 上．
⑴求橢圓 的方程；
⑵設雙曲線 ： （ ， ）的頂點 、 都是曲線 的頂點，經過雙曲線 的右焦點 作 軸的垂線，與 在第一象限內相交于 ，若直線 經過坐標原點 ，求雙曲線 的離心率．
21．（本小題滿分14分）
已知函數 ， ， 是常數．試證明：
⑴ ， 是函數 的圖象的一條切線；
⑵ ，存在 ，使 ．
一、選擇題 BCAA CDDB
二、填空題 ⒐ （3分）， （ 寫作 亦可，但要統一，否則只計1處得分； 寫作 扣1分）
⒑ ⒒ ⒓ （3分）， （1分＋1分）
⒔ ⒕ ⒖
三、解答題
⒗⑴ ……4分（代入1分，三角函數值2分，結果1分）
⑵向右平移 個單位，所得到的曲線為 ……6分
曲線經過坐標原點，得 ……7分
化簡（和差化積或積化和差），得 （或 ）……10分
， ……11分， ， 的最小正值為 ……12分．
（若學生在第⑴問化簡函數，則相應的分值仍然計入第⑵問）
⒘⑴由表中數據，得 ……4分（列式2分，計算1分，比較1分），
因此，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為性別與讀營養說明有關……5分
⑵ 的取值為0，1，2……6分
， ， ……12分
的分布列為
……13分
的均值為 ……14分．
⒙⑴連接 ，則 ……1分
（方法一） 底面 ，所以 ， ……2分
， ……3分
，所以 ， ……4分
因為 ，所以 ……5分
（方法二） ，所以 ， ……2分
底面 ，所以 ……3分
因為 ，所以 平面 ……4分
因為 平面 ，所以 ……5分
⑵（方法一）過 作 于 ，則 平面 ……6分
連接 ，由⑴知 平面 當且僅當 ……7分
又 ，所以 平面 ……8分， ……9分
依題意， ，所以 ， ……10分， 是 的平分線，從而也是 的平分線……11分
在 和 中， ， ……12分
所以 ……13分， ，即所求 的值為 ……14分．
（方法二）在平面 內過點 作 ，以 為原點， 、 、 所在直線分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標系……6分
則 ， ， ……7分， ……8分
設 ，由 得， ……9分
解得 ， ， ……10分
由⑴知 平面 當且僅當 ……11分，即 ……12分
所以 ……13分
解得 ……14分．
（方法三）過 作 ，交 于 ，連接 ，則平面 即平面
……6分，由⑴知 平面 當且僅當 ……7分
由⑴及余弦定理得 ……9分
所以 ……12分
……13分，又 ，所以 ……14分．
⒚⑴由 ，得 ……1分， ……2分
所以 是首項 ，公差 的等差數列……3分
……4分，所以 ， ……5分
⑵（方法一） ……6分， ……7分
時，由以上不等式得
……9分
……10分， ……11分
因為 是遞增數列，所以 ， ……12分．
（方法二） ……6分， ……7分
時，由以上不等式得
……9分
……10分， ……11分
因為 是遞增數列，所以 ， ……12分．
⒛⑴橢圓 的焦距 ……1分
長軸 ……4分
橢圓 的短軸 ……5分，所以橢圓 的方程為 ……6分
⑵設雙曲線 焦距為 ，依題意， ……7分， ……8分
（方法一） ……9分，直線 的方程為 ……10分
、 、 共線，所以 ……11分，即 ……12分， ， ……13分，解得雙曲線 的離心率 （ 舍去）……14分．
（方法二）依題意， ～ ……9分， ……10分
所以 ……11分，即 ……12分， ， ……13分，解得雙曲線 的離心率 （ 舍去）……14分．
21．⑴ ……1分，直線 的斜率 ……2分，由 ，取 ……3分
，曲線 在點 的切線為 ，即 ，所以 是曲線 的一條切線……4分
⑵直接計算知 ……5分
設函數 ……6分
……7分
……8分
當 或 時，
……10分，因為 的圖象是一條連續不斷的曲線，所以存在 ，使 ，即 ，使 ……11分；
當 時， 、 ，而且 、 之中至少一個為正……12分，由均值不等式知， ，等號當且僅當 時成立，所以 有最小值 ，且 ……13分，此時存在 （ 或 ），使 。綜上所述， ，存在 ，使 ……14分．
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