2014屆惠州市高三第一次調研考試試題
（本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘）
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1. 已知集合，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 復數等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在數列中，，公比，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
4. 某城市修建經濟適用房．已知甲、乙、丙三個社區分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經濟適用房中有90套住房用于解決住房緊張問題，采用分層抽樣的方法決定各社區戶數，則應從乙社區中抽取低收入家庭的戶數為（ ）
A．40 B．36 C．30 D．20
5. 下列函數中，既是偶函數，又是在區間上單調遞減的函數是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知平面向量的夾角為，且，，則等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若正三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積是（ ）
A. B. C. D.
8. 執行如圖所示程序框圖．若輸入，則輸出的值是（ ）
A． B． C． D．
9. 圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ）
A． B． C． D．
10. 設函數有三個零點
且，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．
其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，
只計算前一題得分．
11. 在中，若，則= .
12. 不等式組表示的平面區域的面積是 .
13. 定義映射，其中，，已知對所有的有序正整數對滿足下述條件:①，②若，；
③，則 .
14.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，為極點，直線過圓：的圓心，且與直線垂直，則直線的極坐標方程為 ．
15. (幾何證明選講選做題) 如圖示，是半圓周上的兩個三等分點，直徑，，垂足為，則的長為 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
已知函數.
（1）求函數的最小正周期和最小值；
（2）若，，求的值.
組別 候車時間 人數
一 2
二 6
三 4
四 2
五 1
17.（本小題滿分12分）
為調查乘客的候車情況，公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間（單位：分鐘）作為樣本分成5組，如下表所示：
（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數；
（2）若從上表第三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步的問卷調查，求抽到的兩人恰好來自不同組的概率．
18.（本小題滿分14分）
在正方體中，棱長為2，是棱上中點，是棱中點，
（1）求證：面；
（2）求三棱錐的體積．
19．（本小題滿分14分）
設數列的前n項和為，點在直線上，．
（1）證明數列為等比數列，并求出其通項；
（2）設，記，求數列的前和．
20．（本小題滿分14分）
如圖，A, B 是橢圓 的兩個頂點, ，直線AB的斜率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l平行于A,B ，與x, y軸分別交于點，
與橢圓相交于，證明：△OCM的面積等于△OCM的面積．
21．(本小題滿分14分）
已知函數
(1)若求函數的極值；
(2)若函數在上單調遞減，求實數a的取值范圍；
(3)在函數的圖象上是否存在不同的兩點使線段AB的中點的橫坐標與直線AB的斜率k之間滿足？若存在，求出
若不存在，請說明理由.
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D C A C C C
【解析】
1. ，故，選C
2. ，選D
3. 數列為，等比數列，，選B
4. 設從乙社區抽取戶，則，解得 ，選C
5. 不是偶函數，是周期函數，在區間上不是單調遞減，在區間上單調遞增，故選D。
6. ，選C
7. 由三視圖可知，三棱柱的高為1，底面正三角形的高為，所以正三角形的邊長為2，所以三棱柱的側面積為，兩底面積為，所以表面積為，選A.
8. ，故選C
9. 解得，因為圓與直線相切于第三象限，由圖可知，，故選C。
10．，令 故
+ 0 — 0 +
遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
又因為，，
，，綜合以上信息可得
示意圖如右，由圖可知，<1，選C.
二、填空題
11. 12. 13. 2 14. 15.
【解析】
11. 由余弦定理解得
12. 不等式組表示的可行域如圖所示，故面積為
13. 由題意可知，，，
14. 圓C的直角坐標方程為，故圓心C為，過圓心且與OC垂直的直線為，轉為極坐標方程為。
15. 依題意知,則,
,代入解得。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.解：（1）已知函數即 ……………………………2分
… ………………………………………………………3分
當時，即，…………4分
…………………………………………………………6分
(2)………8分
由解得：……10分
….................................................11分
所以……………....................................12分
17. 解：（1）由頻率分布表可知：這15名乘客中候車時間少于10分鐘的人數為8，
所以，這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數大約等于人.…4分
（2）設第三組的乘客為，第四組的乘客為1，2；
“抽到的兩個人恰好來自不同的組”為事件.………………………………5分
所得基本事件共有15種，即：
…………………8分
其中事件包含基本事件，共8種，………10分
由古典概型可得， ………………………12分
18.解：（1）取中點，連接，
則為中位線，，…………2分
而正方體，是棱上中點，
故，………………4分
，所以四邊形PQDE為平行四邊形。
， ……………6分
而面，面，
故……………………………8分
（2）正方體中，BB1面ABE，故為BB1高，BB1=2………10分
…………12分
故………14分
19.解：（1）…………………………………1分
時，………………2分
時，，………………………3分
兩式相減得：，，………5分
是以為首項，為公比的等比數列. ………………6分
…………………………………………7分
(2) ，則，…………9分
①
②…………………10分
①-②得：……………11分
…………13分
……14分
20．（1）解：依題意，，，
整理得 ………………………………2分
解得 ，． ………………………………3分
所以 橢圓的方程為． ………………………4分
（2）證明：由于//，設直線的方程為，將其代入，消去，
整理得． ………6分
設，．
所以 ………8分
證法一：記△的面積是，△的面積是．
由，，
則………………10分
因為 ，所以 ，…13分
從而． ………………………………………14分
證法二：記△的面積是，△的面積是．
則線段的中點重合． ………………10分
因為 ，所以 ，．
故線段的中點為．
因為 ，，所以 線段的中點坐標亦為．……13分
從而． ………………………………………14分
21.解：（1）的定義域為………………………………………………1分
，…………………………………………2分
故單調遞增；
單調遞減，…………………3分
時，取得極大值，無極小值。……………………………4分
（2），，
若函數在上單調遞增，
則對恒成立…………………………………5分
，只需………………6分
時，，則，，………7分
故，的取值范圍為…………………………………8分
（3）假設存在，不妨設，
………………………9分
…………………………………………10分
由得，整理得………11分
令，，…12分，
在上單調遞增，………………………………………13分
，故
不存在符合題意的兩點。…………………………14分
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