惠州市2014屆高三第一次調研考試
數學試題(理科）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1.已知集合，則 （ ）
A. B. C. D.
2.復數在復平面上對應的點位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，，且，則向量( )
A. B. C. D.
4.已知直線與直線平行且與圓：相切,則直線的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.對于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是( )
A.若,則 B.若,則
C.若則 D.若,則
6.不等式組表示的平面區域的面積是( )
A. B. 0 C. D.
7.已知函數，若過點且與曲線相切的切線方程為，則實數的值是( )
A. B. C.6 D.9
8.對于任意兩個正整數,定義某種運算“※”如下:當都為正偶數或正奇數時,※=;當中一個為正偶數,另一個為正奇數時,※=.則在此定義下,集合※中的元素個數是( )
A.10個 B.15個 C.16個 D.18個
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9.右圖是某高三學生進入高中三年來第次到次的
數學考試成績
莖葉圖, 根據莖葉圖計算數據的中位數為 .
10.已知等差數列{},滿足,則此數列的前項
的和 .
11.已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角 .
12.設是上的奇函數,. 當時有,
則 .
13.一物體在力(單位：)的作用下沿與力相同的方向,
從處運動到 (單位：)處,則力做的功為 焦.
14.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中,圓的圓心到直線 的距離是 .
15.（幾何證明選講選做題）如圖,為圓直徑,切圓于點, , ,則等于 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）已知函數.(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.
17.（本小題滿分12分）某社團組織名志愿者利用周末和節假日參加社會公益活動,活動內容是：1、到各社區宣傳慰問,倡導文明新風；2、到指定的醫院、福利院做義工,幫助那些需要幫助的人.各位志愿者根據各自的實際情況,選擇了不同的活動項目,相關的數據如下表所示：
宣傳慰問 義工 總計
20至40歲 11 16 27
大于40歲 15 8 23
總計 26 24 50
(1) 分層抽樣方法在做義工的志愿者中隨機抽取6名,年齡大于40歲的應該抽取幾名?
(2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求選到的志愿者年齡大于40歲的人數的
數學期望.
18.（本小題滿分14分）如圖,已知三棱錐的側棱兩兩垂直,且,,是的中點.(1)求點到面的距離；(2)求二面角的正弦值.
19.（本小題滿分14分）已知等差數列的公差，它的前項和為，若，且成等比數列.（1） 求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求證：.
20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線與橢圓相交于兩點，是
直線上的點，滿足，
求點的軌跡方程．
21.（本小題滿分14分）已知二次函數,且不等式的解集為.(1) 方程有兩個相等的實根,求的解析式.
(2) 的最小值不大于,求實數的取值范圍.
(3) 如何取值時,函數()存在零點,并求出零點.
惠州市2014屆高三第一次調研考試
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C A D B
1.【解析】，故，故選C.
2.【解析】，所以點（位于第二象限.故選B.
3.【解析】∵,∴,∴.故選A.
4.【解析】圓的圓心為,半徑為,因為直線,所以,設直線 的方程為,由題意得或.
所以,直線的方程或.故選D.
(二）【解析】對于平面、、和直線、,真命題是“若, 則”.故選C
6.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，
故面積為.故選A.
7.【解析】設切點為，則 ①，
∵，又切線l過A、M兩點，
∴則 ②
聯立①、②可解得，從而實數的值為故選D.
8.【解析】從定義出發,抓住的奇偶性對12實行分拆是解決本題的關鍵,當同奇偶時,根據※=將12分拆兩個同奇偶數的和,當一奇一偶時,根據※=將12分拆一個奇數與一個偶數的積,再算其組數即可.
若同奇偶,有,前面的每種可以交換位置,最后一種只有1個點,這時有;
若一奇一偶,有,每種可以交換位置,這時有;
∴共有個.故選B
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5
9.【解析】從莖葉圖中可知14個數據排序為：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位數為94與95的平均數94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直線與直線垂直得，.?
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圓為,圓的圓心直線的直角坐標方程為，所以點到直線的距離是.
15.【解析】連接,切圓于點,.又，是中點，.
三、解答題：
16.解(1)∵
………………………4分
∴的最大值為2,……5分，最小正周期為 ………6分
(2)由(1)知,
所以,即 ………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 ………12分
17解：(1)若在做義工的志愿者中隨機抽取6名,則抽取比例為……………2分
∴ 年齡大于40歲的應該抽取人. ………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假設選到年齡大于40歲的人數為,
∵ 6名志愿者中有2人的年齡大于40歲,其余4人的年齡在20到40歲之間,
∴ 可能的取值為. ………………………5分
則,, ………8分
∴的分布列為
………10分
18（本小題滿分14分）解: (1)取的中點,連、
、
則面,的長就是所要求的距離.
………………………3分
、,
,在直角三角形中,有…6分
（另解:由
(2)連結并延長交于,連結、.
則就是所求二面角的平面角. ……………9分
作于,則
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是 ……………14分
方法二: (1)以為原點,、、分別為、、軸建立空間直角坐標系.
則有、、、……2分
設平面的法向量為
則由
由,……4分
則點到面的距離為……6分
(2) ……8分
設平面的法向量為則由知:
由知:取 ……………10分
由(1)知平面的法向量為 ……………11分
則<>. ……………13分
結合圖形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.（本題滿分14分）解：（1）數列是等差數列且，
. ①…2分
成等比數列，即②………4分
由①，②解得或…………5分
………6分
（2）證明;由（1）可得， …………7分
所以. …………8分
所以
. …………10分
，. …………11分
，數列是遞增數列，.………13分
. …………14分
20解：（1）設，
由題意,可得,即， ……………2分
整理得，得(舍)或，所以. ……………4分
（2）由（1）知,可得橢圓方程為.
直線方程為 ……………………………………………5分
兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理得……6分
解得得方程組的解 ……………………8分
不妨設,設的坐標為則
， …………10分
由得.
于是 …………11分
由得，
化簡得， ………………………………13分
將代入得，
由得.因此,點的軌跡方程是. …14分
21解：∵的解集為,
∴的解集為, ……………………1分
∴,且方程的兩根為
即，∴ ……2分 （1）∵方程有兩個相等的實根,即有兩個相等的實根
∴,
∴或 …………3分
∵,∴, ∴ …………4分
（2）
∵,∴的最小值為, ……………………5分
則,,解得, …………7分
∵,∴ ………………………………8分
（3）由,得 (※)
①當時,方程(※) 有一解,
函數有一零點； ……………………9分
②當時,
方程(※)有一解, 令
得, ，
i)當，時，（（負根舍去）），函數有一零點. ……………10分
ii) 當時，的兩根都為正數，當或時，函數有一零點.11分
ⅲ) 當時，，
③方程(※)有二解,
i) 若,，時,
（（負根舍去）），函數
有兩個零點； …12分
ii) 當時，，的兩根都為正數，
當或時，
函數有兩個零點。……13分
ⅲ) 當時，，恒成立，
取大于0()的任意數，函數有兩個零點 …14分
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