絕密★啟用前 試卷類型：A
2014年深圳市高三年級第一次調研考試
本試卷共6頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生信息條形碼是否正確；之后務必用0．5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區，請保持條形碼整潔、不污損．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．不按要求填涂的，答案無效．
3．非選擇題必須用0．5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答．漏涂、錯涂、多涂的答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回．
參考公式：
如果事件 互斥，那么 ；
如果事件 相互獨立，那么 ；
若錐體的底面積為 ，高為 ，則錐體的體積為 ．
一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，集合 ．則集合 可表示為
A． B． C． D．
2.復數 滿足 （其中 為虛數單位），則 =
A． B． C． D．
3．下列函數中，為奇函數的是
A． B． C． D．
4．“ ”是“ 函數 在區間 上單調遞減”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．執行如圖1所示的程序框圖，則輸出的 的值為
（注：“ ”，即為“ ”或為“ ”．）
A．
B．
C．
D．
6． 的展開式中常數項為
A． B．
C． D．
7．如圖2，在矩形 內：記拋物線 與直線
圍成的區域為 （圖中陰影部分）．隨機往矩形 內投一
點 ，則點 落在區域 內的概率是
A． B．
C． D．
8.在平面直角坐標系中，定義兩點 與 之間的“直角距離”為 ．給出下列命題：
（1）若 ， ，則 的最大值為 ；
（2）若 是圓 上的任意兩點，則 的最大值為 ；
(3) 若 ，點 為直線 上的動點，則 的最小值為 ．
其中為真命題的是
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）(3) D． (2)(3)
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．函數 的定義域為 ．
10．某幾何體的三視圖如圖3所示，其正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則此幾何體的體積是 ．
11.已知雙曲線 與橢圓 有相同的焦點，
且雙曲線 的漸近線方程為 ，則雙曲線 的方程為 ．
12. 設實數 滿足 向量 ， ．若 ，則實數 的最大值為 ．
13.在數列 中，已知 ， ，且數列 是等比數列，則 ．
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分．
14.（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線 的參數方程為 （ 為參數），曲線 的極坐標方程為 ．則曲線 與曲線 的交點個數為________個．
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，已知 是⊙ 的直徑， 是⊙ 的切線，過 作弦 ，若 ， ，則 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
已知函數 的圖像經過點 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
17.（本小題滿分12分）
某網絡營銷部門為了統計某市網友2013年11月11日在某淘寶店的網購情況，隨機抽查了該市當天 名網友的網購金額情況，得到如下數據統計表（如圖5（1））：
若網購金額超過 千元的顧客定義為“網購達人”，網購金額不超過 千元的顧客定
義為“非網購達人”，已知“非網購達人”與“網購達人”人數比恰好為 ．
（1）試確定 ， ， ， 的值，并補全頻率分布直方圖（如圖5(2)）．
（2）該營銷部門為了進一步了解這 名網友的購物體驗，從“非網購達人”、“網購
達人”中用分層抽樣的方法確定 人，若需從這 人中隨機選取 人進行問卷調查．設 為選取的 人中“網購達人”的人數，求 的分布列和
數學期望．
18．（本小題滿分14分）
如圖6所示，平面 平面 ，且四邊形 為矩形，四邊形 為直角梯形， ， ， ， ．
（1）求證 平面 ；
（2）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值；
（3）求直線 與平面 所成角的余弦值．
19.（本小題滿分14分）
已知數列 的前 項和為 ，且滿足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）設 ，數列 的前 項和為 ，求證： ．
20.（本小題滿分14分）
如圖7，直線 ，拋物線 ，已知點 在拋
物線 上，且拋物線 上的點到直線 的距離的最小值為 ．
（1）求直線 及拋物線 的方程；
（2）過點 的任一直線（不經過點 ）與拋物線 交于 、 兩點，直線 與直線 相交于點 ，記直線 ， ， 的斜率分別為 ， ， ．問：是否存在實數 ，使得 ？若存在，試求出 的值；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
已知函數 ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直線 為曲線 的切線，求實數 的值；
（3）當 時，設 ，且 ，若不等式 恒成立，求實數 的最小值．
2014年深圳市高三年級第一次調研考試
說明：
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．
一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D A D C B A
二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．
9． ； 10． ； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ； 15． ．
三、解答題
16．（本小題滿分12分）
已知函數 的圖像經過點 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
解：（1）由題意可得 ，即 ． ……………………………2分
， ， ，
． ……………………………………………………………5分
（2） ，
， ……………………………………………………7分
． …………………………………………8分
由（1）知 ，
．
， ， ……………………………10分
又 ，
．……………12分
【說明】 本小題主要考查了三角函數 的圖象與性質，三角恒等變換，以及余弦定理等基礎知識，考查了簡單的
數學運算能力．
17．（本小題滿分12分）
某網絡營銷部門為了統計某市網友2013年11月11日在某淘寶店的網購情況，隨機抽查了該市當天 名網友的網購金額情況，得到如下數據統計表（如圖5（1））：
若網購金額超過 千元的顧客定義為“網購達人”，網購金額不超過 千元的顧客定
義為“非網購達人”，已知“非網購達人”與“網購達人”人數比恰好為 ．
（1）試確定 ， ， ， 的值，并補全頻率分布直方圖（如圖5(2)）．
（2）該營銷部門為了進一步了解這 名網友的購物體驗，從“非網購達人”、“網購
達人”中用分層抽樣的方法確定 人，若需從這 人中隨機選取 人進行問卷調查．設 為選取的 人中“網購達人”的人數，求 的分布列和
數學期望．
解：（1）根據題意，有
解得 …………………2分
， ．
補全頻率分布直方圖如圖所示． ………4分
（2）用分層抽樣的方法，從中選取 人，則
其中“網購達人”有 人，“非網購達人”有 人． …………………6分
故 的可能取值為0，1，2，3；
， ，
， ．…………………………10分
所以 的分布列為：
． ……………………12分
【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及
數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力．
18．（本小題滿分14分）
如圖6所示，平面 平面 ，且四邊形 為矩形，四邊形 為直角梯形， ， ， ， ．
（1）求證 平面 ；
（2）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值；
（3）求直線 與平面 所成角的余弦值．
解：（法一）（1）取 中點為 ，連接 、 ，
且 ，
，則 且 ． …………2分
四邊形 為矩形， 且 ，
且 ，
，則 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ． ……………………………………………………4分
（2）過點 作 的平行線交 的延長線
于 ，連接 ， ， ，
，
， ， ， 四點共面．
四邊形 為直角梯形，四邊形 為矩形，
， ，又 ，
平面 ， ，
又 平面 平面 ，
為平面 與平面 所成銳二面角的平面角．……………………7分
， ．
即平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ． ……………………9分
（3）過點 作 于 ，連接 ，
根據（2）知 ， ， ， 四點共面， ，
， ，
又 ， 平面 ，
，則 ．
又 ， 平面 ．
直線 與平面 所成角為 ． ……………………………11分
， ，
， ， ，
．
即直線 與平面 所成角的余弦值為 ． ……………………………14分
（法二）（1） 四邊形 為直角梯形，四邊形 為矩形，
， ，
又 平面 平面 ，且
平面 平面 ，
平面 ．
以 為原點， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸，
所在直線為 軸建立如圖所示空間直角坐標系．
根據題意我們可得以下點的坐標：
， ， ， ， ， ， 則 ， ． ………………2分
， ， 為平面 的一個法向量．
又 ，
平面 ． …………………………………………………………4分
（2）設平面 的一個法向量為 ，則
， ，
， 取 ，得 ． ……………………………6分
平面 ，
平面 一個法向量為 ，
設平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ，
則 ．
因此，平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ． …………………9分
（3）根據（2）知平面 一個法向量為 ，
， ，………12分
設直線 與平面 所成角為 ，則 ．
因此，直線 與平面 所成角的余弦值為 ． ………………………14分
【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關系，二面角及三角函數及空間坐標系等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決
數學問題的能力．
19． （本小題滿分14分）
已知數列 的前 項和為 ，且滿足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）設 ，數列 的前 項和為 ，求證： ．
解：（1）當 時，有 ，解得 ．
當 時，有 ，解得 ．……………2分
（2）（法一）當 時，有 , ……………①
． …………………②
①—②得： ，即： ．…………5分
．
． ………………………………………8分
另解： ．
又 當 時，有 ， ． …………………………8分
（法二）根據 ， ，猜想： ． ………………………………3分
（Ⅰ）當 時，有 ，猜想成立．
（Ⅱ）假設當 時，猜想也成立，即： ．
那么當 時，有 ，
即： ，………………………①
又 ， …………………………②
①-②得： ，
解，得 ．
當 時，猜想也成立．
因此，由
數學歸納法證得 成立．………………………………………8分
（3） ， ……………………………10分
． ………………………………………14分
【說明】考查了遞推數列的通項公式、數列裂項求和公式、放縮法證明不等式等知識，考查了學生的運算能力，以及化歸與轉化的思想．
20．（本小題滿分14分）
如圖7，直線 ，拋物線 ，已知點 在拋
物線 上，且拋物線 上的點到直線 的距離的最小值為 ．
（1）求直線 及拋物線 的方程；
（2）過點 的任一直線（不經過點 ）與拋物線 交于 、 兩點，直線 與直線 相交于點 ，記直線 ， ， 的斜率分別為 ， ， ．問：是否存在實數 ，使得 ？若存在，試求出 的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）（法一） 點 在拋物線 上， ． ……………………2分
設與直線 平行且與拋物線 相切的直線 方程為 ，
由 得 ，
，
由 ，得 ，則直線 方程為 ．
兩直線 、 間的距離即為拋物線 上的點到直線 的最短距離，
有 ，解得 或 （舍去）．
直線 的方程為 ，拋物線 的方程為 ． …………………………6分
（法二） 點 在拋物線 上， ，拋物線 的方程為 ．……2分
設 為拋物線 上的任意一點，點 到直線 的距離為 ，根據圖象，有 ， ，
， 的最小值為 ，由 ，解得 ．
因此，直線 的方程為 ，拋物線 的方程為 ．…………………6分
（2） 直線 的斜率存在， 設直線 的方程為 ，即 ，
由 得 ，
設點 、 的坐標分別為 、 ，則 ， ，
， ， …………………………9分
.…10分
由 得 ， ，
， ……………………………………………13分
．
因此，存在實數 ，使得 成立，且 ．…………………………14分
【說明】本題主要考查拋物線的方程與性質、直線方程、直線與拋物線的位置關系，切
線方程，點到直線距離，最值問題等基礎知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．
21． （本小題滿分14分）
已知函數 ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直線 為曲線 的切線，求實數 的值；
（3）當 時，設 ，且 ，若不等式 恒成立，求實數 的最小值．
解：（1） ，…………………………2分
令 ，解得 （負值舍去），
由 ，解得 ．
（ⅰ）當 時，由 ，得 ，
在 上的最大值為 ．…………………………………3分
（ⅱ）當 時，由 ，得 ，
在 上的最大值為 ．……………………………………4分
（ⅲ）當 時， 在 時， ，在 時， ，
在 上的最大值為 ．…………………………………5分
（2）設切點為 ，則 ……………………………6分
由 ，有 ，化簡得 ，
即 或 ， ……………………………①
由 ，有 ，……………②
由①、②解得 或 ． ……………………………………………9分
（3）當 時， ，
由（2）的結論直線 為曲線 的切線，
， 點 在直線 上，
根據圖像分析，曲線 在直線 下方． …………………………10分
下面給出證明：當 時， ．
，
當 時， ，即 ．………………………12分
，
， ．
要使不等式 恒成立，必須 ．……………13分
又 當 時，滿足條件 ，
且 ，
因此， 的最小值為 ． …………………………………………………14分
【說明】本題主要考查函數的性質、導數運算法則、導數的幾何意義及其應用、不等式的求解與證明、恒成立問題，考查學生的分類討論，計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創新意識．
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