烏魯木齊地區2014年高三年級第一次診斷性測驗 理科數學試題參考答案及評分標準
一、選擇題:共12小題，每小題5分，共60分.
題號123456789101112選項BBDCACADADAA
1.選B.【解析】∵，，∴.
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2.選B.【解析】∵，∴的實部為.
3.選D.【解析】∵， ∴.
4.選C.【解析】由函數奇偶性定義得是奇函數，是偶函數，
∵的定義域為，∴既不是奇函數，又不是偶函數.
5.選A.【解析】由圖可知，，解得.
6.選C.【解析】該幾何體的直觀圖，如圖所示
可知，是直角三角形，
∵，，，，不是直角三角形.
7.選A.【解析】∵圖象經過點，
∴，解得，
由及函數在區間上是單調函數，可得，∴
8.選D.【解析】由題意知，，即，解得（舍），或.
9.選A.【解析】執行第一次運算時：
執行第二次運算時：
執行第三次運算時：
∴輸出
10.選D.【解析】設拋物線的焦點為，準線為，分別過點作直線的
垂線，垂足分別為，由拋物線定義，得
.(是的中點)
11.選A.【解析】設中點分別為，
則
由外心的定義知，，因此，，
，∴…①
∵，∴
∴…③
把③代入①②得，解得.
12.選A.【解析】易知，為增函數，
∴若，則有，又，∴，即成立，
∴它的逆否命題：若，則成立；
在遞增，在遞減，
；
在遞增，在遞減，
，；
當時，方程有兩解，不妨設；
方程也有兩解，不妨設；
又當時，，∴，
這樣當時，就有，或，故，C. D.不正確.
二、填空題 :共4小題，每小題5分，共20分.
13.填.【解析】此二項式的展開式的通項為，
令，，∴常數項為.
14.填.【解析】根據題意得，此雙曲線的漸近線方程為，∴，∴.
15.填.【解析】 ∵是公差為的等差數列，∴，
∴，∴
∴數列的前9項和為.
16.填.【解析】如圖，設的外接球的球心
為，∵在球面上，
∴球心在正方體上下底面中心連線上，點也在球上，∴
∵棱長為，∴，設，
則，在中，有…①，
在中，…②，將①代入②，得，
∵，∴，∴，于是.
三、解答題
17.（12分）
（Ⅰ）∵，∴，∴，故
由，得，∴，即； …6分
（Ⅱ）
由，知，故，∴
18.（12分）
如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，
則有，
（Ⅰ），
設平面的法向量，
則，即，取，則，
設，則
∵平面，∴當且僅當，即時，∥平面
∴，，∴，
即是的中點時，∥平面； …6分
（Ⅱ），設平面的法向量
由，得，，取，則，
設二面角的平面角為，易知，
∴． …12分
19.（12分）
（Ⅰ）工資薪金所得的組區間的中點值依次為，取這些值的概率依次為，算得與其相對應的“全月應納稅所得額”依次為（元），按工資個稅的計算公式（元），
（元），
（元），
（元），
（元）；
∴該市居民每月在工資薪金個人所得稅總收入為
（元）； …6分
（Ⅱ）這5組居民月可支配額取的值分別是
（元）；
（元）；
（元）；
（元）；
（元）；
∴的分布列為：
（元） …12分
20.（12分）
（Ⅰ）已知直線直線經過橢圓：的短軸端點 和右焦點，可得，∴
故橢圓的標準方程為； …5分
（Ⅱ）由橢圓的方程可得右焦點為，因為直線的斜率為，且直線經過右焦點，所以直線的方程為，
設，則點的坐標為
⑴當時，因為點在橢圓上，∴ …①
∴，依題意知
∴直線的斜率
則直線的方程為 …②
由①②得 …③
把直線的方程代入橢圓的方程得，
即…④
∵是方程④的兩個實數解，∴，…⑤
∴…⑥
把⑤代入⑥得，…⑦
把⑤⑦代入③得，
即，令，解得
此時，直線過定點
⑵當時，點為橢圓的長軸端點，故點與點重合，此時直線即為 軸，而軸過點，則直線也過點
綜上所述，直線直線過定點. …12分
21.（12分）
（Ⅰ）令
則，，
∵
當時，，∴…①
∴，∴函數為增函數，
∴，即…②
∴函數為增函數，
∴，即…③
∴函數為增函數，
∴，即當時，成立； …6分
（Ⅱ）⑴當時，∵
∴
∴函數為增函數，
當時，，當時，，
∴當時，函數的零點為，其零點個數為個
⑵當時，∵對，
∴函數為奇函數，且 …④
下面討論函數在時的零點個數：
由（Ⅰ）知，當時，，令
∴
則，
當時，，∴，∴
∴函數為增函數
∴當時，；當時，
∴函數的減區間為，增區間為
∴當時，…⑤
即對時， …⑥
又由（Ⅰ）知，
當時，由③知，∴
故，當時，
由函數為增函數和⑥⑦及函數零點定理知，存在唯一實數
使得，又函數為奇函數
∴函數，有且僅有三個零點． …12分
22.（10分）
（Ⅰ）∵
又∵與切于點，是弦，∴
∴； …5分
（Ⅱ）∵，，∴∽
∴，∴ …①
而∽，∴ …②
由①②得
又∵，∴． …10分
23.（10分）
（Ⅰ）曲線的參數方程為，設，
則，即； …5分
（Ⅱ）設，
則. …10分
24.（10分）
（Ⅰ）設函數，則，畫出其圖象，可知，
要使不等式的解集不是空集，需且只需
∴的取值范圍的集合； …5分
（Ⅱ）∵，∴
∵
∵，∴， ∴. …10分
以上各題的其他解法，限于篇幅從略，請相應評分.
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